Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  2. BTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
  3. CTham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
  4. DTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về ký hiệu little-o là đúng?

  1. A2n = o(n), vì 2n tăng chậm
  2. Bn = o(n²), nhưng n không phải o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n), vì mọi hàm đều là little-o của chính nó
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chi phí chèn một phần tử vào giữa mảng n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(log n), nhờ tìm kiếm nhị phân
  2. BO(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển
  3. CO(n²), vì mỗi phần tử di chuyển n lần
  4. DO(1), vì đã biết chỉ số
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chèn một khóa vào cây AVL làm cây con trái của một nút quá cao, và khóa mới đi vào cây con trái của con trái của nó (trường hợp trái-trái). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. ATô lại màu nút và con của nó
  2. BMột phép xoay trái đơn tại nút mất cân bằng
  3. CXoay trái tại nút con, rồi xoay phải tại nút
  4. DMột phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
15197209184813ABCDEF

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

D · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · n = o(n²), nhưng n không phải o(n)

Vì sao đây là đáp án

f = o(g) nghĩa là f(n) / g(n) tiến về 0; n / n² tiến về 0, nhưng n / n = 1 thì không.

Đáp số

B · n = o(n²), nhưng n không phải o(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển

Vì sao đây là đáp án

Mọi phần tử sau điểm chèn dịch sang phải một vị trí, tốn thời gian tỷ lệ với n.

Đáp số

B · O(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng

Vì sao đây là đáp án

Trong trường hợp trái-trái, một phép xoay phải nâng con trái lên và khôi phục cân bằng; các trường hợp zig-zag cần xoay kép.

Đáp số

D · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 17

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 31 = 2(L + 8) − 2
L = 17

Đáp số

L = 17

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 43

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

DF (4): lấy
BC (7): lấy
EF (8): lấy
CE (9): lấy
BE (13): bỏ qua, tạo chu trình
AB (15): lấy

Tổng trọng số

W = 4 + 7 + 8 + 9 + 15 = 43

Đáp số

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms