Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian trong trường hợp xấu nhất của quicksort là gì?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán thỏa mãn nào sau đây được biết là giải được trong thời gian đa thức?

  1. A3-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có đúng ba literal
  2. BSAT tổng quát trên các công thức dạng chuẩn tắc hội
  3. C2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
  4. DThỏa mãn mạch
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Duyệt thứ tự giữa (in-order) của cây tìm kiếm nhị phân thăm các khóa theo:

  1. AThứ tự theo mức
  2. BThứ tự tăng dần đã sắp xếp
  3. CLuôn luôn thứ tự giảm dần
  4. DThứ tự chèn
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Với mỗi phần tử của mảng, bạn muốn tìm phần tử lớn hơn kế tiếp ở bên phải nó, trong tổng thời gian O(n). Cấu trúc nào giúp được?

  1. AMột cây tìm kiếm nhị phân được xây lại cho mỗi phần tử
  2. BMột bảng băm của mọi phần tử
  3. CMột ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
  4. DMột hàng đợi chứa mọi cặp phần tử
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
411481315116511ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(G) của đường đi ngắn nhất từ A đến G trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: G
d(G) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Với các pivot liên tục tồi (ví dụ đầu vào đã sắp xếp và pivot là phần tử đầu) các phân hoạch mất cân bằng, cho O(n²). Trường hợp trung bình là O(n log n).

Đáp số

D · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal

Vì sao đây là đáp án

2-SAT thuộc P (thời gian tuyến tính qua các thành phần liên thông mạnh), trong khi 3-SAT là NP-đầy đủ.

Đáp số

C · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Thứ tự tăng dần đã sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Thăm cây con trái, rồi nút, rồi cây con phải sẽ xuất các khóa của BST theo thứ tự đã sắp.

Đáp số

B · Thứ tự tăng dần đã sắp xếp
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời

Vì sao đây là đáp án

Quét từ trái sang phải, lấy ra mọi phần tử nhỏ hơn phần tử hiện tại trong ngăn xếp (phần tử hiện tại là câu trả lời của chúng), rồi đẩy nó vào; mỗi phần tử di chuyển tối đa hai lần.

Đáp số

C · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(G) = 7

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 4, C: 1
C (1): E: 14, G: 7
B (4): D: 12
G (7)
D (12): F: 27
E (14)
F (27)

Đường đi ngắn nhất

A → C → G
d(G) = 7

Đáp số

d(G) = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms