Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  2. BTham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
  3. CTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
  4. DTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Độ phức tạp thời gian của việc xây dựng một đống nhị phân từ n phần tử chưa sắp xếp bằng phương pháp từ dưới lên là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Mục đích của nút lính canh (sentinel, nút giả) trong danh sách liên kết là gì?

  1. AĐơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
  2. BLàm cho danh sách được sắp xếp
  3. CNgăn danh sách phát triển vượt quá một số nút tối đa cố định
  4. DLưu số phần tử
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bộ lọc Bloom có thể trả lời "phần tử này có trong tập không?" với:

  1. ACó thể có âm tính giả nhưng không có dương tính giả
  2. BChỉ trả lời cho các số
  3. CLuôn luôn chính xác
  4. DCó thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1061519312201ABCDEF

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

C · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Cộng chi phí lọc xuống trên các tầng cho một chuỗi hội tụ, nên việc dựng đống chạy trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

D · O(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối

Vì sao đây là đáp án

Với nút lính canh, mọi nút thật đều có nút đứng trước, nên chèn hoặc xóa ở đầu không cần xử lý đặc biệt.

Đáp số

A · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Nếu bất kỳ bit nào của một phần tử là 0 thì chắc chắn nó vắng mặt; nếu tất cả là 1 thì có lẽ nó có mặt. Bộ lọc Bloom đánh đổi độ chính xác lấy rất ít bộ nhớ.

Đáp số

D · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

A, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 42

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BE (1): lấy
CE (3): lấy
AC (6): lấy
AB (10): bỏ qua, tạo chu trình
DE (12): lấy
BC (15): bỏ qua, tạo chu trình
BD (19): bỏ qua, tạo chu trình
EF (20): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 3 + 6 + 12 + 20 = 42

Đáp số

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms