Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Bạn sắp xếp một mảng n phần tử một lần rồi trả lời k truy vấn thuộc về bằng tìm kiếm nhị phân. Tổng chi phí là bao nhiêu?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Đường đi đơn ngắn nhất có thể tìm trong thời gian đa thức. Điều gì được biết về việc tìm đường đi đơn dài nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị tổng quát?

  1. ANó là NP-khó
  2. BNó có thể giải bằng thuật toán Dijkstra với trọng số đổi dấu
  3. CNó luôn giải được trong O(V + E)
  4. DNó bất khả quyết định
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chi phí chèn một phần tử vào giữa mảng n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(log n), nhờ tìm kiếm nhị phân
  2. BO(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển
  3. CO(n²), vì mỗi phần tử di chuyển n lần
  4. DO(1), vì đã biết chỉ số
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các quy tắc cây đỏ-đen đảm bảo điều gì về chiều cao của cây có n khóa?

  1. AChiều cao tối đa là log2 n + 1
  2. BChiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
  3. CChiều cao chính xác là log2 n
  4. DChiều cao tối đa là n / 2
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 14 đỉnh và 20 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 14|E| = 20
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
813105612713ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n log n + k log n)

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp tốn O(n log n) và mỗi truy vấn O(log n); cách này thắng k lần quét tuyến tính (O(nk)) khi k lớn.

Đáp số

A · O(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Nó là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

Một đường đi đơn dài nhất có độ dài V − 1 là một đường đi Hamilton, một bài toán NP-đầy đủ; tuy nhiên, trên đồ thị có hướng không chu trình, nó giải được trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

A · Nó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển

Vì sao đây là đáp án

Mọi phần tử sau điểm chèn dịch sang phải một vị trí, tốn thời gian tỷ lệ với n.

Đáp số

B · O(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)

Vì sao đây là đáp án

Mọi đường đi có cùng số nút đen và các nút đỏ không được kề nhau, nên đường dài nhất tối đa gấp đôi đường ngắn nhất, cho chiều cao O(log n).

Đáp số

B · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 7

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

14 − 1 = 13

Các cạnh cần bỏ

k = 20 − 13 = 7

Đáp số

k = 7
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 20

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 8, C: 13
B (8): D: 13, E: 21
C (13): E: 19
D (13): F: 20
E (19)
F (20)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 20

Đáp số

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms