Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao quy hoạch động không đem lại sự tăng tốc thực sự cho sắp xếp trộn?

  1. ASắp xếp trộn đã là O(n)
  2. BQuy hoạch động chỉ hoạt động trên các bài toán đồ thị, không dùng được trên mảng
  3. CCác bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
  4. DSắp xếp trộn không có cấu trúc đệ quy
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp chèn chạy trong O(n) trên đầu vào đã sắp xếp. Điều này có mâu thuẫn với cận dưới Ω(n log n) cho sắp xếp dựa trên so sánh không?

  1. AKhông, vì sắp xếp chèn không phải là sắp xếp dựa trên so sánh
  2. BCó, nhưng chỉ với mảng ngắn hơn 100
  3. CCó, nên cận dưới là sai
  4. DKhông, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một nút trong cây tìm kiếm nhị phân có cây con phải. Nút kế tiếp theo thứ tự giữa của nó nằm ở đâu?

  1. ALuôn là cha của nó
  2. BNút ngoài cùng bên trái của cây con phải
  3. CNút ngoài cùng bên phải của cây con trái
  4. DLuôn là con phải của nó
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Phát biểu nào về heapsort là đúng?

  1. ANó cần một cây tìm kiếm nhị phân làm bộ nhớ phụ, nên dùng thêm O(n) bộ nhớ
  2. BNó chạy trong thời gian O(n) với mọi đầu vào
  3. CNó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
  4. DNó ổn định và cần O(n) bộ nhớ thêm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K7 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K7
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
11483104106ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng

Vì sao đây là đáp án

Các nửa của sắp xếp trộn rời nhau và mỗi nửa được giải một lần; DP chỉ giúp khi các bài toán con lặp lại, như trong Fibonacci.

Đáp số

C · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào

Vì sao đây là đáp án

Cận này nói rằng mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần khoảng n log n phép so sánh trên một đầu vào nào đó kích thước n; các đầu vào đặc biệt có thể nhanh hơn nhiều.

Đáp số

D · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải

Vì sao đây là đáp án

Mọi khóa lớn hơn gần nút đều nằm trong cây con phải, và khóa nhỏ nhất trong số đó là nút ngoài cùng bên trái ở đó.

Đáp số

B · Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định

Vì sao đây là đáp án

Heapsort xây một đống max và lấy giá trị lớn nhất n lần ngay trong cùng mảng; các hoán đổi ở khoảng cách xa có thể làm đổi thứ tự các khóa bằng nhau.

Đáp số

C · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 360

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Đáp số

H = 360
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 1
2. B (1): C: 15, D: 9, E: 7
3. E (7): C: 10, F: 17
4. D (9): F: 13
5. C (10)
6. F (13)

vòng 4

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms