Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao quy hoạch động không đem lại sự tăng tốc thực sự cho sắp xếp trộn?

  1. ASắp xếp trộn không có cấu trúc đệ quy
  2. BCác bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
  3. CQuy hoạch động chỉ hoạt động trên các bài toán đồ thị, không dùng được trên mảng
  4. DSắp xếp trộn đã là O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp tô-pô chỉ khả thi đối với:

  1. AĐồ thị vô hướng
  2. BĐồ thị đầy đủ
  3. CĐồ thị có hướng không chu trình
  4. DĐồ thị có trọng số âm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao đống nhị phân có thể lưu trong mảng mà không cần con trỏ?

  1. ANó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
  2. BMảng tự động giữ các khóa theo thứ tự đã sắp, nên không cần con trỏ
  3. CMọi khóa trong đống đều bằng nhau
  4. DĐống không bao giờ chứa quá 100 phần tử
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các quy tắc cây đỏ-đen đảm bảo điều gì về chiều cao của cây có n khóa?

  1. AChiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
  2. BChiều cao tối đa là log2 n + 1
  3. CChiều cao tối đa là n / 2
  4. DChiều cao chính xác là log2 n
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 15 đỉnh và 18 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 15|E| = 18
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
717138291220ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 5; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 5
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh DE
  6. 6cạnh DF
  7. 7cạnh EF
  8. 8cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng

Vì sao đây là đáp án

Các nửa của sắp xếp trộn rời nhau và mỗi nửa được giải một lần; DP chỉ giúp khi các bài toán con lặp lại, như trong Fibonacci.

Đáp số

B · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đồ thị có hướng không chu trình

Vì sao đây là đáp án

Thứ tự tô-pô tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có hướng không có chu trình; nó tìm được trong O(V + E) bằng DFS hoặc thuật toán Kahn.

Đáp số

C · Đồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản

Vì sao đây là đáp án

Tính đầy đủ nghĩa là không có khoảng trống, nên các con của chỉ số i luôn ở 2i + 1 và 2i + 2.

Đáp số

A · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)

Vì sao đây là đáp án

Mọi đường đi có cùng số nút đen và các nút đỏ không được kề nhau, nên đường dài nhất tối đa gấp đôi đường ngắn nhất, cho chiều cao O(log n).

Đáp số

A · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 4

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

15 − 1 = 14

Các cạnh cần bỏ

k = 18 − 14 = 4

Đáp số

k = 4
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BC

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. DE (2)
2. AB (7)
3. BD (8)
4. DF (9)
5. BC (13)

cạnh số 5

BC

Đáp số

cạnh BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms