Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao quy hoạch động không đem lại sự tăng tốc thực sự cho sắp xếp trộn?

  1. ACác bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
  2. BSắp xếp trộn đã là O(n)
  3. CSắp xếp trộn không có cấu trúc đệ quy
  4. DQuy hoạch động chỉ hoạt động trên các bài toán đồ thị, không dùng được trên mảng
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tìm kiếm nhị phân không cho thời gian O(log n) trên một danh sách liên kết đơn?

  1. AĐến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
  2. BTìm kiếm nhị phân cần ít nhất gấp đôi bộ nhớ
  3. CDanh sách liên kết không thể được sắp xếp
  4. DCác phép so sánh trên nút danh sách liên kết chậm hơn
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một ứng dụng cần tra cứu nhanh, đồng thời cần liệt kê khóa theo thứ tự đã sắp và trả lời các truy vấn khoảng. Cấu trúc nào phù hợp nhất?

  1. ADanh sách liên kết không sắp xếp
  2. BNgăn xếp
  3. CBảng băm
  4. DCây tìm kiếm nhị phân cân bằng
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao cây B được dùng trong cơ sở dữ liệu và hệ thống tệp?

  1. AChúng dùng ít bộ nhớ hơn bất kỳ mảng nào, nên toàn bộ chỉ mục luôn vừa trong bộ nhớ chính
  2. BChúng không cần cân bằng lại
  3. CHệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm
  4. DChúng lưu dữ liệu không sắp xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng

Vì sao đây là đáp án

Các nửa của sắp xếp trộn rời nhau và mỗi nửa được giải một lần; DP chỉ giúp khi các bài toán con lặp lại, như trong Fibonacci.

Đáp số

A · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp

Vì sao đây là đáp án

Tìm kiếm nhị phân cần truy cập O(1) vào phần tử giữa; trên danh sách liên kết, đi đến đó tốn thời gian tuyến tính, nên tổng là O(n).

Đáp số

A · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng

Vì sao đây là đáp án

BST cân bằng cho tra cứu O(log n) và giữ khóa có thứ tự, nên duyệt thứ tự giữa và truy vấn khoảng dễ dàng; bảng băm rải khóa ngẫu nhiên.

Đáp số

D · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Hệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm

Vì sao đây là đáp án

Cây B lưu nhiều khóa trên mỗi nút, nên chiều cao nhỏ và mỗi lần tra cứu cần ít lần đọc khối; cây B+ còn liên kết các lá để quét theo khoảng.

Đáp số

C · Hệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

E, F → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms