Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thời gian chạy của sắp xếp cơ số LSD trên n số nguyên có d chữ số trong cơ số k là bao nhiêu?

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp chèn chạy trong O(n) trên đầu vào đã sắp xếp. Điều này có mâu thuẫn với cận dưới Ω(n log n) cho sắp xếp dựa trên so sánh không?

  1. AKhông, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
  2. BCó, nên cận dưới là sai
  3. CCó, nhưng chỉ với mảng ngắn hơn 100
  4. DKhông, vì sắp xếp chèn không phải là sắp xếp dựa trên so sánh
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một cây nhị phân có gốc 1 với con trái 2 và con phải 3; nút 2 có các con 4 (trái) và 5 (phải). Duyệt thứ tự trước là gì?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây cơ số (radix tree, trie nén) cải thiện trie thông thường như thế nào?

  1. ANó lưu mỗi từ trong một bảng băm ở gốc thay vì trong các nút riêng
  2. BNó chỉ giữ chữ cái đầu của mỗi từ
  3. CNó sắp các con của mỗi nút theo tần suất
  4. DNó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 15 đỉnh và 24 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 15|E| = 24
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1762179519151310ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(d(n + k))

Vì sao đây là đáp án

Mỗi lượt trong d lượt là một sắp xếp đếm tốn O(n + k), nên với d và k cố định tổng là tuyến tính theo n.

Đáp số

B · O(d(n + k))
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào

Vì sao đây là đáp án

Cận này nói rằng mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần khoảng n log n phép so sánh trên một đầu vào nào đó kích thước n; các đầu vào đặc biệt có thể nhanh hơn nhiều.

Đáp số

A · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 1 2 4 5 3

Vì sao đây là đáp án

Preorder thăm 1, rồi cây con trái của nó (2, 4, 5), rồi 3; các phương án khác là inorder, postorder và duyệt theo mức.

Đáp số

D · 1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Nó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu

Vì sao đây là đáp án

Thu gọn các đường không phân nhánh làm giảm số nút và bộ nhớ dùng trong khi vẫn giữ được tìm kiếm tiền tố.

Đáp số

D · Nó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

15 − 1 = 14

Các cạnh cần bỏ

k = 24 − 14 = 10

Đáp số

k = 10
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 31

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BD (1): lấy
BC (2): lấy
EF (5): lấy
AC (6): lấy
CE (7): lấy
DF (9): bỏ qua, tạo chu trình
GE (10): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 10 = 31

Đáp số

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms