Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Prim xây dựng cây khung nhỏ nhất như thế nào?

  1. ANó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
  2. BNó chạy tìm kiếm theo chiều rộng và giữ lại cây BFS
  3. CNó sắp xếp mọi cạnh theo trọng số và thêm từng cạnh trừ khi nó tạo chu trình trong rừng
  4. DNó xóa cạnh đắt nhất cho đến khi không còn chu trình
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Độ phức tạp thời gian của việc xây dựng một đống nhị phân từ n phần tử chưa sắp xếp bằng phương pháp từ dưới lên là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều nào đúng với ma trận kề của một đồ thị vô hướng?

  1. ANó đối xứng qua đường chéo chính
  2. BNó luôn là ma trận tam giác trên
  3. CĐường chéo chính của nó luôn chứa các số một
  4. DMỗi hàng có đúng một số 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chèn một khóa vào cây AVL làm cây con trái của một nút quá cao, và khóa mới đi vào cây con trái của con trái của nó (trường hợp trái-trái). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. AMột phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
  2. BXoay trái tại nút con, rồi xoay phải tại nút
  3. CTô lại màu nút và con của nó
  4. DMột phép xoay trái đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Prim, với hàng đợi ưu tiên các cạnh nối ra ngoài, chạy trong O(E log V) với đống nhị phân.

Đáp số

A · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Cộng chi phí lọc xuống trên các tầng cho một chuỗi hội tụ, nên việc dựng đống chạy trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

A · O(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Nó đối xứng qua đường chéo chính

Vì sao đây là đáp án

Trong đồ thị vô hướng cạnh {u, v} nghĩa là cả M[u][v] và M[v][u] đều được đặt, nên ma trận bằng chuyển vị của nó.

Đáp số

A · Nó đối xứng qua đường chéo chính
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng

Vì sao đây là đáp án

Trong trường hợp trái-trái, một phép xoay phải nâng con trái lên và khôi phục cân bằng; các trường hợp zig-zag cần xoay kép.

Đáp số

A · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)EE = 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 + 3·0 + 0·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms