Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Bạn sắp xếp một mảng n phần tử một lần rồi trả lời k truy vấn thuộc về bằng tìm kiếm nhị phân. Tổng chi phí là bao nhiêu?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n + k)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Một bài toán là NP-đầy đủ nếu nó:

  1. AGiải được trong thời gian đa thức
  2. BThuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức
  3. CNằm ngoài NP nhưng khó hơn mọi bài toán NP, chẳng hạn bài toán dừng
  4. DKhông thể giải được
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều nào đúng với ma trận kề của một đồ thị vô hướng?

  1. ANó đối xứng qua đường chéo chính
  2. BMỗi hàng có đúng một số 1
  3. CNó luôn là ma trận tam giác trên
  4. DĐường chéo chính của nó luôn chứa các số một
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ALưu các cạnh của đồ thị
  2. BSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
  3. CCài đặt ngăn xếp
  4. DTrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
11311619187210ABCDEFG

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh D. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 2.

bắt đầu: Dk = 2
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh BC
  3. 3cạnh BD
  4. 4cạnh DE
  5. 5cạnh DF
  6. 6cạnh EF
  7. 7cạnh GB
  8. 8cạnh GD
  9. 9cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n log n + k log n)

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp tốn O(n log n) và mỗi truy vấn O(log n); cách này thắng k lần quét tuyến tính (O(nk)) khi k lớn.

Đáp số

A · O(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Thuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Các bài toán NP-đầy đủ là khó nhất trong NP; một thuật toán đa thức cho một bài sẽ cho ra thuật toán cho toàn bộ NP.

Đáp số

B · Thuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Nó đối xứng qua đường chéo chính

Vì sao đây là đáp án

Trong đồ thị vô hướng cạnh {u, v} nghĩa là cả M[u][v] và M[v][u] đều được đặt, nên ma trận bằng chuyển vị của nó.

Đáp số

A · Nó đối xứng qua đường chéo chính
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

D · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh DE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. GD (2)
2. DE (6)
3. GB (7)
4. AB (1)
5. BC (13)
6. EF (18)

cạnh số 2

DE

Đáp số

cạnh DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms