Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán quy hoạch động chuẩn cho dãy con chung dài nhất của các chuỗi có độ dài m và n là gì?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp chèn chạy trong O(n) trên đầu vào đã sắp xếp. Điều này có mâu thuẫn với cận dưới Ω(n log n) cho sắp xếp dựa trên so sánh không?

  1. ACó, nhưng chỉ với mảng ngắn hơn 100
  2. BKhông, vì sắp xếp chèn không phải là sắp xếp dựa trên so sánh
  3. CCó, nên cận dưới là sai
  4. DKhông, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Thuật toán Dijkstra dùng kiểu dữ liệu trừu tượng nào để chọn đỉnh kế tiếp cần xử lý?

  1. ANgăn xếp
  2. BHàng đợi FIFO
  3. CHàng đợi ưu tiên min
  4. DMột tập không có thứ tự
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bộ lọc Bloom có thể trả lời "phần tử này có trong tập không?" với:

  1. ALuôn luôn chính xác
  2. BChỉ trả lời cho các số
  3. CCó thể có âm tính giả nhưng không có dương tính giả
  4. DCó thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 9 đỉnh và 16 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 9|E| = 16
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại D? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(mn)

Vì sao đây là đáp án

Bảng có (m + 1)(n + 1) ô và mỗi ô được tính trong O(1) từ các ô lân cận.

Đáp số

D · O(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào

Vì sao đây là đáp án

Cận này nói rằng mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần khoảng n log n phép so sánh trên một đầu vào nào đó kích thước n; các đầu vào đặc biệt có thể nhanh hơn nhiều.

Đáp số

D · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Hàng đợi ưu tiên min

Vì sao đây là đáp án

Hàng đợi ưu tiên min, thường là đống nhị phân, trả về hiệu quả đỉnh chưa thăm có khoảng cách nhỏ nhất.

Đáp số

C · Hàng đợi ưu tiên min
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Nếu bất kỳ bit nào của một phần tử là 0 thì chắc chắn nó vắng mặt; nếu tất cả là 1 thì có lẽ nó có mặt. Bộ lọc Bloom đánh đổi độ chính xác lấy rất ít bộ nhớ.

Đáp số

D · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

9 − 1 = 8

Các cạnh cần bỏ

k = 16 − 8 = 8

Đáp số

k = 8
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Thêm một bước

(M³)DD = 0·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms