Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
  2. BTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
  3. CTham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  4. DTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Đường đi đơn ngắn nhất có thể tìm trong thời gian đa thức. Điều gì được biết về việc tìm đường đi đơn dài nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị tổng quát?

  1. ANó là NP-khó
  2. BNó luôn giải được trong O(V + E)
  3. CNó có thể giải bằng thuật toán Dijkstra với trọng số đổi dấu
  4. DNó bất khả quyết định
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), với n là số từ
  3. CO(n), với n là số từ
  4. DO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Một nút AVL mất cân bằng vì cây con phải của con trái nó trở nên quá cao (trường hợp trái-phải). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. AXoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
  2. BMột phép xoay trái đơn tại nút
  3. CMột phép xoay phải đơn tại nút
  4. DXoay phải tại con trái, rồi xoay trái tại nút
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 7 đỉnh và 15 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 7|E| = 15
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
2031847261217ABCDEFG

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh BD
  3. 3cạnh CE
  4. 4cạnh DE
  5. 5cạnh DF
  6. 6cạnh EF
  7. 7cạnh GC
  8. 8cạnh GD
  9. 9cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

B · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Nó là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

Một đường đi đơn dài nhất có độ dài V − 1 là một đường đi Hamilton, một bài toán NP-đầy đủ; tuy nhiên, trên đồ thị có hướng không chu trình, nó giải được trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

A · Nó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

D · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút

Vì sao đây là đáp án

Phép xoay đầu tiên chuyển trường hợp trái-phải thành trái-trái, rồi một phép xoay phải tại nút mất cân bằng sẽ sửa nó.

Đáp số

A · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 9

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

7 − 1 = 6

Các cạnh cần bỏ

k = 15 − 6 = 9

Đáp số

k = 9
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh GC

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. EF (2)
2. BD (3)
3. DE (4)
4. GC (6)
5. GD (12)
6. AB (20)

cạnh số 4

GC

Đáp số

cạnh GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms