Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao cơ số của logarit thường bị bỏ trong Big O, như trong O(log n)?

  1. ACác logarit với cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số hằng
  2. BCơ số chỉ quan trọng với n nhỏ
  3. CLogarit luôn được làm tròn thành số nguyên
  4. DMọi logarit trong khoa học máy tính đều có cơ số 10, nên cơ số được ngầm hiểu
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Với biến thể bài toán cái túi nào thì quy tắc tham lam "lấy các món theo thứ tự giá trị trên cân nặng" luôn cho đáp án tối ưu?

  1. ACái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
  2. BCả hai biến thể
  3. CBài toán cái túi 0/1, trong đó các món luôn phải được lấy nguyên
  4. DKhông biến thể nào
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một bảng băm kích thước 7 dùng h(k) = k mod 7 và dò tuyến tính. Sau khi chèn 10, 17 được lưu ở đâu?

  1. AChỉ số 3
  2. BChỉ số 4
  3. CChỉ số 6
  4. DChỉ số 0
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Với mỗi phần tử của mảng, bạn muốn tìm phần tử lớn hơn kế tiếp ở bên phải nó, trong tổng thời gian O(n). Cấu trúc nào giúp được?

  1. AMột cây tìm kiếm nhị phân được xây lại cho mỗi phần tử
  2. BMột ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
  3. CMột hàng đợi chứa mọi cặp phần tử
  4. DMột bảng băm của mọi phần tử
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
19517151671213103ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Các logarit với cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số hằng

Vì sao đây là đáp án

Đổi cơ số nhân logarit với một hằng số, và Big O bỏ qua các hệ số hằng.

Đáp số

A · Các logarit với cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số hằng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ

Vì sao đây là đáp án

Khi các món có thể chia nhỏ, tỷ lệ tốt nhất trước là tối ưu; trong cái túi 0/1, một món có tỷ lệ cao có thể chặn một tổ hợp tốt hơn, nên cần quy hoạch động.

Đáp số

A · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Chỉ số 4

Vì sao đây là đáp án

10 mod 7 = 3 và 17 mod 7 = 3; chỉ số 3 đã bị chiếm, nên dò tuyến tính thử ô kế tiếp, chỉ số 4.

Đáp số

B · Chỉ số 4
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời

Vì sao đây là đáp án

Quét từ trái sang phải, lấy ra mọi phần tử nhỏ hơn phần tử hiện tại trong ngăn xếp (phần tử hiện tại là câu trả lời của chúng), rồi đẩy nó vào; mỗi phần tử di chuyển tối đa hai lần.

Đáp số

B · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 23

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 47 = 2(L + 13) − 2
L = 23

Đáp số

L = 23

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 57

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

GE (3): lấy
BC (5): lấy
DF (7): lấy
GD (10): lấy
EF (12): bỏ qua, tạo chu trình
GC (13): lấy
CE (15): bỏ qua, tạo chu trình
DE (16): bỏ qua, tạo chu trình
BD (17): bỏ qua, tạo chu trình
AC (19): lấy

Tổng trọng số

W = 3 + 5 + 7 + 10 + 13 + 19 = 57

Đáp số

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms