Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phát biểu nào về một hàm đệ quy không có trường hợp cơ sở nào đạt tới được là đúng?

  1. ATrình biên dịch luôn biến nó thành một vòng lặp kết thúc an toàn
  2. BNó tự động trả về 0
  3. CNó chạy trong thời gian O(1)
  4. DNó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sự khác biệt giữa một bài toán bất khả quyết định và một bài toán không khả thi (intractable) là gì?

  1. ABài toán bất khả quyết định thuộc NP, còn bài toán không khả thi thuộc P
  2. BCả hai đều có nghĩa là bài toán hoàn toàn không có thuật toán
  3. CBài toán không khả thi không thể giải bằng bất kỳ thuật toán nào, còn bài toán bất khả quyết định chỉ cần thời gian hàm mũ
  4. DBài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Bạn có một tham chiếu đến một nút ở giữa danh sách. Trong danh sách nào bạn có thể xóa nó trong O(1)?

  1. ADanh sách liên kết đôi
  2. BMảng đã sắp xếp
  3. CDanh sách liên kết đơn
  4. DMảng động
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Nếu không có hợp theo hạng hay nén đường đi, chi phí trường hợp xấu nhất của một lần find trong cấu trúc union-find với n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 4, 4 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1496795143ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn

Vì sao đây là đáp án

Không có trường hợp cơ sở thì đệ quy không bao giờ dừng; trên thực tế bộ nhớ cho các khung ngăn xếp cạn kiệt và chương trình bị sập.

Đáp số

D · Nó cứ gọi chính nó cho đến khi ngăn xếp lời gọi bị tràn
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm

Vì sao đây là đáp án

Bài toán dừng hoàn toàn không có thuật toán; một bài toán NP-khó như TSP có thể giải bằng vét cạn, chỉ là không trong thời gian đa thức đã biết.

Đáp số

D · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Nút của danh sách liên kết đôi biết nút đứng trước nó, nên bạn có thể nối lại prev và next trực tiếp; danh sách liên kết đơn phải tìm nút đứng trước.

Đáp số

A · Danh sách liên kết đôi
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Phép hợp ngây thơ có thể nối các cây thành một chuỗi dài, nên find có thể đi theo n − 1 con trỏ cha; hai heuristic đưa nó gần hằng số.

Đáp số

D · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 24

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 44 = 2(L + 11) − 2
L = 24

Đáp số

L = 24

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): C: 14
2. C (14): B: 23, E: 21
3. E (21): D: 30, F: 35
4. B (23): D: 29
5. D (29): F: 34
6. F (34)

vòng 4

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms