Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc nhân hai ma trận n × n bằng ba vòng lặp lồng nhau chuẩn là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

22n có thuộc O(2ⁿ) không?

  1. AKhông, vì 22n = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn
  2. BCó, vì các hệ số hằng trong số mũ luôn bị bỏ qua trong Big O
  3. CKhông, vì 22n tăng chậm hơn 2ⁿ
  4. DCó, vì cả hai đều là hàm mũ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một bảng băm kích thước 7 dùng h(k) = k mod 7 và dò tuyến tính. Sau khi chèn 10, 17 được lưu ở đâu?

  1. AChỉ số 6
  2. BChỉ số 4
  3. CChỉ số 3
  4. DChỉ số 0
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Với mỗi phần tử của mảng, bạn muốn tìm phần tử lớn hơn kế tiếp ở bên phải nó, trong tổng thời gian O(n). Cấu trúc nào giúp được?

  1. AMột hàng đợi chứa mọi cặp phần tử
  2. BMột bảng băm của mọi phần tử
  3. CMột cây tìm kiếm nhị phân được xây lại cho mỗi phần tử
  4. DMột ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ A đến E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n³)

Vì sao đây là đáp án

Có n² phần tử và mỗi phần tử cần n phép nhân, cho n³ phép toán.

Đáp số

C · O(n³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Không, vì 22n = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn

Vì sao đây là đáp án

Một hằng số cộng vào số mũ cho một hệ số hằng, nhưng một hằng số nhân với số mũ làm đổi cơ số và tốc độ tăng.

Đáp số

A · Không, vì 22n = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Chỉ số 4

Vì sao đây là đáp án

10 mod 7 = 3 và 17 mod 7 = 3; chỉ số 3 đã bị chiếm, nên dò tuyến tính thử ô kế tiếp, chỉ số 4.

Đáp số

B · Chỉ số 4
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời

Vì sao đây là đáp án

Quét từ trái sang phải, lấy ra mọi phần tử nhỏ hơn phần tử hiện tại trong ngăn xếp (phần tử hiện tại là câu trả lời của chúng), rồi đẩy nó vào; mỗi phần tử di chuyển tối đa hai lần.

Đáp số

D · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

B, C, D, E → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Thêm một bước

(M³)AE = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms