Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm theo chiều rộng trên một đồ thị không trọng số tìm ra:

  1. AĐường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
  2. BThứ tự tô-pô trong mọi đồ thị
  3. CĐường đi ngắn nhất trong đồ thị có chứa các cạnh với trọng số âm
  4. DCây khung nhỏ nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Để chứng minh một bài toán mới X là NP-khó, bạn phải làm gì?

  1. AQuy dẫn X về một bài toán NP-khó đã biết trong thời gian đa thức
  2. BChứng minh X không có thuật toán đa thức cho đầu vào nhỏ
  3. CQuy dẫn một bài toán NP-khó đã biết về X trong thời gian đa thức
  4. DChứng minh X kiểm chứng được trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một phần tử mới được chèn vào đống nhị phân như thế nào?

  1. AĐặt nó ở gốc và đẩy xuống
  2. BXây lại toàn bộ đống từ đầu
  3. CChèn nó vào vị trí đã sắp bằng cách dịch tất cả các phần tử lớn hơn sang phải một vị trí
  4. DĐặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào mà cây đỏ-đen phải thỏa mãn?

  1. AMọi nút đỏ phải có các con màu đỏ, nên các nút đỏ luôn tạo thành chuỗi liền mạch đến các lá
  2. BMọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
  3. CMọi nút phải là đỏ
  4. DGốc phải là đỏ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 9 đỉnh và 12 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 9|E| = 12
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
71391061111112ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát

Vì sao đây là đáp án

BFS thăm các nút theo thứ tự khoảng cách (số cạnh) từ nguồn, nên tìm được đường đi ngắn nhất không trọng số trong O(V + E).

Đáp số

A · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Quy dẫn một bài toán NP-khó đã biết về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Nếu một bài toán khó đã biết có thể được biến đổi hiệu quả thành X, thì một thuật toán nhanh cho X cũng sẽ giải được bài toán đã biết.

Đáp số

C · Quy dẫn một bài toán NP-khó đã biết về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống

Vì sao đây là đáp án

Thêm ở cuối giữ cây đầy đủ; hoán đổi với cha khôi phục thứ tự trong O(log n) bước.

Đáp số

D · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen

Vì sao đây là đáp án

Quy tắc đỏ-đen: nút là đỏ hoặc đen, gốc đen, nút đỏ có con đen, và mọi đường đi có cùng chiều cao đen, giữ chiều cao ≤ 2 log₂(n + 1).

Đáp số

B · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 4

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

9 − 1 = 8

Các cạnh cần bỏ

k = 12 − 8 = 4

Đáp số

k = 4
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 18

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): D: 17, E: 19
C (13)
D (17): F: 18
F (18)
E (19)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 18

Đáp số

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms