Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm chạy một vòng lặp n lần lặp rồi, tách biệt, một vòng lặp khác n lần lặp. Độ phức tạp thời gian của nó là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Với biến thể bài toán cái túi nào thì quy tắc tham lam "lấy các món theo thứ tự giá trị trên cân nặng" luôn cho đáp án tối ưu?

  1. ACái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
  2. BKhông biến thể nào
  3. CCả hai biến thể
  4. DBài toán cái túi 0/1, trong đó các món luôn phải được lấy nguyên
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân min lưu trong mảng (chỉ số bắt đầu từ 0), các con của nút ở chỉ số i nằm ở:

  1. A2i + 1 và 2i + 2
  2. Bi/2 và i/2 + 1
  3. Ci + 1 và i + 2
  4. D2i và 2i + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Ưu điểm chính của skip list so với danh sách liên kết đã sắp xếp là gì?

  1. ATìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
  2. BTìm kiếm O(1) được đảm bảo vì mỗi nút lưu một con trỏ tới mọi nút khác
  3. CNó lưu khóa không có thứ tự
  4. DNó không dùng thêm bộ nhớ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
919213111910ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

n + n = 2n, và các hệ số hằng bị bỏ, nên hàm là O(n).

Đáp số

D · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ

Vì sao đây là đáp án

Khi các món có thể chia nhỏ, tỷ lệ tốt nhất trước là tối ưu; trong cái túi 0/1, một món có tỷ lệ cao có thể chặn một tổ hợp tốt hơn, nên cần quy hoạch động.

Đáp số

A · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · 2i + 1 và 2i + 2

Vì sao đây là đáp án

Với mảng bắt đầu từ 0, con trái ở 2i + 1, con phải ở 2i + 2, và cha ở ⌊(i − 1)/2⌋.

Đáp số

A · 2i + 1 và 2i + 2
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến

Vì sao đây là đáp án

Các tầng ngẫu nhiên cho phép tìm kiếm bỏ qua nhiều nút, cho tìm kiếm, chèn và xóa kỳ vọng O(log n).

Đáp số

A · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

A, B, D, E → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 12

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 9, C: 1
C (1): E: 14
B (9): D: 11
D (11): F: 12
F (12)
E (14)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 12

Đáp số

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms