Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Có đúng không khi nói một thuật toán O(n²) cũng là O(n³)?

  1. AĐúng, nhưng chỉ khi n nhỏ hơn 100
  2. BKhông, vì n³ nhỏ hơn n² khi n lớn
  3. CĐúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
  4. DKhông, vì Big O phải luôn cho tốc độ tăng chính xác của hàm
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí thời gian và không gian của việc tính số Fibonacci thứ n bằng một vòng lặp chỉ giữ hai giá trị cuối là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(n) và không gian O(1)
  2. BThời gian O(n) và không gian O(n)
  3. CThời gian O(2ⁿ) và không gian O(1)
  4. DThời gian O(log n) và không gian O(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cấu trúc dữ liệu nào được dùng để kiểm tra các dấu ngoặc trong "{[()]}" có cân bằng hay không?

  1. ABảng băm
  2. BNgăn xếp
  3. CCây tìm kiếm nhị phân
  4. DHàng đợi
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Để bảng băm hoạt động đúng, băm và so sánh bằng phải tuân theo quy tắc nào?

  1. ACác khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
  2. BGiá trị băm phải là số nguyên tố
  3. CGiá trị băm bằng nhau suy ra khóa bằng nhau
  4. DCác khóa khác nhau phải có giá trị băm khác nhau
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K4 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K4
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
65191612718101152ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³

Vì sao đây là đáp án

Big O là cận trên, nên phát biểu đúng nhưng không chặt; Θ(n²) nêu tốc độ tăng chính xác.

Đáp số

C · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Thời gian O(n) và không gian O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi bước chỉ cần hai giá trị trước đó, nên bảng của phương pháp từ dưới lên có thể được thay bằng hai biến.

Đáp số

A · Thời gian O(n) và không gian O(1)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ngăn xếp

Vì sao đây là đáp án

Đẩy mỗi dấu ngoặc mở vào và lấy ra khi gặp dấu ngoặc đóng; nó phải khớp với dấu ngoặc vừa lấy ra và ngăn xếp phải rỗng ở cuối.

Đáp số

B · Ngăn xếp
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau

Vì sao đây là đáp án

Nếu hai khóa bằng nhau băm khác nhau, chúng sẽ được lưu ở các ngăn khác nhau và tra cứu sẽ thất bại; các khóa không bằng nhau vẫn có thể chung giá trị băm.

Đáp số

A · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Đáp số

H = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 33

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

GC (1): lấy
GE (2): lấy
AC (5): lấy
AB (6): lấy
DF (7): lấy
GB (10): bỏ qua, tạo chu trình
DE (12): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 12 = 33

Đáp số

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms