Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Bạn sắp xếp một mảng n phần tử một lần rồi trả lời k truy vấn thuộc về bằng tìm kiếm nhị phân. Tổng chi phí là bao nhiêu?

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phải chứng minh hai điều nào để chứng tỏ một bài toán quyết định X là NP-đầy đủ?

  1. AX quy dẫn về một bài toán trong P, và X thuộc NP
  2. BX thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
  3. CX không có thuật toán đa thức, và X quyết định được
  4. DX thuộc P, và X quy dẫn về SAT
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(log n), với n là số từ
  2. BO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
  3. CO(n), với n là số từ
  4. DO(L × n)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thuật toán Kahn cho sắp xếp tô-pô liên tục loại bỏ các đỉnh có bậc vào 0. Cấu trúc nào chứa các đỉnh đó?

  1. AMột ma trận kề ghi lại những đỉnh đã bị loại
  2. BMột hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0
  3. CMột đống max sắp theo bậc ra
  4. DMột ngăn xếp gồm mọi cạnh đã thăm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 17 đỉnh và 28 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 17|E| = 28
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
34139152017ABCDE

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n log n + k log n)

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp tốn O(n log n) và mỗi truy vấn O(log n); cách này thắng k lần quét tuyến tính (O(nk)) khi k lớn.

Đáp số

D · O(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Việc thuộc NP cho thấy X không khó hơn NP; phép quy dẫn từ một bài toán NP-đầy đủ đã biết cho thấy X khó ít nhất bằng toàn bộ NP.

Đáp số

B · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

B · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0

Vì sao đây là đáp án

Các đỉnh sẵn sàng được giữ trong hàng đợi; loại một đỉnh làm giảm bậc vào của các láng giềng, và đỉnh nào đạt 0 được thêm vào, cho thời gian O(V + E).

Đáp số

B · Một hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

17 − 1 = 16

Các cạnh cần bỏ

k = 28 − 16 = 12

Đáp số

k = 12
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh CE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. AB (3)
2. AC (4)
3. BD (9)
4. CE (15)

cạnh số 4

CE

Đáp số

cạnh CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms