Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian khấu hao của việc thêm phần tử vào cuối một mảng động nhân đôi dung lượng khi đầy là bao nhiêu?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Strassen nhân ma trận bằng 7 thay vì 8 phép nhân đệ quy các khối nửa kích thước. Thời gian chạy của nó là bao nhiêu?

  1. AΘ(nlog₂ 7), khoảng n2,81
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n2)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Extract-min hoạt động thế nào trong đống min nhị phân?

  1. AXóa gốc và dịch tất cả phần tử sang trái một vị trí
  2. BTìm trong tất cả các lá giá trị nhỏ nhất mới
  3. CChuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
  4. DXóa phần tử cuối của mảng
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây splay làm gì sau mỗi lần truy cập?

  1. AChuyển nút vừa truy cập xuống một lá
  2. BXoay nút vừa truy cập lên gốc
  3. CTô lại màu các nút trên đường tìm kiếm
  4. DXây lại toàn bộ cây ở dạng cân bằng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
81314810101351111ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(G) của đường đi ngắn nhất từ A đến G trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: G
d(G) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Việc sao chép tất cả phần tử chỉ xảy ra ở các lũy thừa của hai; trải ra trên mọi lần thêm, chi phí trung bình mỗi lần thêm là hằng số.

Đáp số

D · O(1)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Θ(nlog₂ 7), khoảng n2,81

Vì sao đây là đáp án

Với a = 7 và b = 2, nlog₂ 7 chiếm ưu thế so với công việc cộng O(n²), cho khoảng n2,81.

Đáp số

A · Θ(nlog₂ 7), khoảng n2,81
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống

Vì sao đây là đáp án

Phần tử cuối lấp chỗ trống ở gốc và được hoán đổi với con nhỏ hơn cho đến khi tính chất đống được thỏa, tốn O(log n).

Đáp số

C · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Xoay nút vừa truy cập lên gốc

Vì sao đây là đáp án

Splay đưa nút vừa truy cập lên gốc bằng các phép xoay; một thao tác đơn lẻ có thể tốn O(n), nhưng chi phí khấu hao là O(log n).

Đáp số

B · Xoay nút vừa truy cập lên gốc
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(G) = 13

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): C: 8
C (8): B: 21, E: 16, G: 13
G (13): D: 24
E (16): F: 29
B (21)
D (24)
F (29)

Đường đi ngắn nhất

A → C → G
d(G) = 13

Đáp số

d(G) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms