Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm chạy một vòng lặp n lần lặp rồi, tách biệt, một vòng lặp khác n lần lặp. Độ phức tạp thời gian của nó là gì?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Độ phức tạp thời gian của việc xây dựng một đống nhị phân từ n phần tử chưa sắp xếp bằng phương pháp từ dưới lên là gì?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một mạng lưới đường có 100,000 giao lộ, mỗi giao lộ nối với khoảng 4 giao lộ khác. Cách biểu diễn nào phù hợp nhất?

  1. AMa trận kề
  2. BMột đống nhị phân các cạnh
  3. CDanh sách kề
  4. DMột mảng đỉnh đã sắp xếp đơn lẻ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Làm thế nào phát hiện danh sách liên kết đơn có chu trình hay không bằng O(1) bộ nhớ thêm?

  1. AĐếm số nút cho đến khi số đếm vượt trường độ dài của danh sách
  2. BSắp xếp danh sách và tìm phần tử trùng
  3. CDi chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
  4. DLưu mọi nút đã thăm trong một tập băm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K4 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K4
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ E đến B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n)

Vì sao đây là đáp án

n + n = 2n, và các hệ số hằng bị bỏ, nên hàm là O(n).

Đáp số

C · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Cộng chi phí lọc xuống trên các tầng cho một chuỗi hội tụ, nên việc dựng đống chạy trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

C · O(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Danh sách kề

Vì sao đây là đáp án

Ma trận sẽ cần 1010 ô, gần như đều trống; danh sách kề chỉ lưu khoảng 400,000 mục cạnh.

Đáp số

C · Danh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không

Vì sao đây là đáp án

Trong thuật toán Floyd, nếu có chu trình thì con trỏ nhanh cuối cùng bắt kịp con trỏ chậm; nếu không con trỏ nhanh đến null.

Đáp số

C · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Đáp số

H = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms