Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao nhiều hàm sắp xếp trong thư viện chuyển sang sắp xếp chèn cho các mảng con rất nhỏ?

  1. ASắp xếp chèn dùng ít bộ nhớ hơn mọi thuật toán sắp xếp khác trên đầu vào lớn
  2. BSắp xếp chèn là O(n log n) trong trường hợp xấu nhất
  3. CSắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
  4. DCác thuật toán đệ quy không xử lý được mảng dưới 10 phần tử
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán quy hoạch động Held–Karp giải chính xác bài toán người bán hàng rong. Thời gian chạy của nó cho n thành phố là bao nhiêu?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(n!)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n³)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Kiểm tra cạnh (u, v) có tồn tại hay không bằng ma trận kề mất bao lâu?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong BST có gốc 50, cây con trái 30 (các con 20, 40) và cây con phải 70 (các con 60, 80), gốc bị xóa bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa. Khóa nào trở thành gốc mới?

  1. A80
  2. B70
  3. C40
  4. D60
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K7 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K7
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Với n nhỏ, vòng lặp đơn giản của sắp xếp chèn thắng chi phí đệ quy của quicksort hay sắp xếp trộn, dù nó là O(n²).

Đáp số

C · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n² 2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Có khoảng n 2ⁿ trạng thái, mỗi trạng thái tính trong O(n); đây là hàm mũ nhưng nhanh hơn nhiều so với thử mọi hành trình (n − 1)!.

Đáp số

A · O(n² 2ⁿ)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Phần tử ma trận ở hàng u, cột v cho biết ngay cạnh có tồn tại hay không; danh sách kề có thể phải quét các láng giềng của u.

Đáp số

A · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 60

Vì sao đây là đáp án

Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải là 60, nên 60 thay 50 và vị trí cũ của nó bị xóa; dùng nút liền trước sẽ cho 40.

Đáp số

D · 60
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 360

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Đáp số

H = 360
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 4

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Đáp số

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms