Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán sắp xếp nào là ổn định?

  1. AQuicksort (phiên bản tại chỗ điển hình)
  2. BSắp xếp chọn (phiên bản điển hình)
  3. CSắp xếp trộn
  4. DSắp xếp vun đống
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Điều gì sẽ xảy ra nếu ai đó tìm được thuật toán thời gian đa thức cho một bài toán NP-đầy đủ?

  1. ABài toán dừng trở nên quyết định được
  2. BMọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP
  3. CChỉ bài toán đó chuyển vào P
  4. DMọi thuật toán thời gian hàm mũ sẽ lập tức chạy trong thời gian tuyến tính
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chương trình đang chạy dùng cấu trúc dữ liệu nào để theo dõi các lời gọi hàm đang hoạt động và biến cục bộ của chúng?

  1. ACây tìm kiếm nhị phân các khung
  2. BNgăn xếp lời gọi (call stack)
  3. CHàng đợi bộ nhớ heap
  4. DBảng băm các hàm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chi phí thời gian và không gian bổ sung của việc đảo ngược danh sách liên kết đơn tại chỗ là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(n log n) và không gian bổ sung O(1)
  2. BThời gian O(1) và không gian bổ sung O(1)
  3. CThời gian O(n) và không gian bổ sung O(n)
  4. DThời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
6121111815181238ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Sắp xếp trộn

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp trộn ổn định khi việc trộn lấy từ nửa trái trước nếu bằng nhau. Quicksort tại chỗ, sắp xếp vun đống và sắp xếp chọn thường không ổn định.

Đáp số

C · Sắp xếp trộn
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Mọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP

Vì sao đây là đáp án

Vì toàn bộ NP quy dẫn về bất kỳ bài toán NP-đầy đủ nào trong thời gian đa thức, một thuật toán nhanh cho một bài sẽ cho thuật toán nhanh cho tất cả.

Đáp số

B · Mọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ngăn xếp lời gọi (call stack)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi lời gọi đẩy một khung ngăn xếp và mỗi lần trả về lấy nó ra, đó là lý do lời gọi gần nhất kết thúc trước.

Đáp số

B · Ngăn xếp lời gọi (call stack)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)

Vì sao đây là đáp án

Giữ ba con trỏ (trước, hiện tại, kế tiếp) cho phép đảo từng liên kết trong một lượt mà không cấp phát nút mới.

Đáp số

D · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 21

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 6, C: 12
B (6): D: 17, G: 14
C (12): E: 20
G (14)
D (17)
E (20): F: 21
F (21)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 21

Đáp số

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms