Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán nào tìm đường đi ngắn nhất từ một nguồn trong đồ thị có trọng số cạnh không âm?

  1. AThuật toán Dijkstra
  2. BBắt buộc phải dùng Bellman–Ford trong mọi trường hợp
  3. CThuật toán Kruskal
  4. DTìm kiếm theo chiều sâu
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Một bài toán là NP-đầy đủ nếu nó:

  1. AKhông thể giải được
  2. BThuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức
  3. CGiải được trong thời gian đa thức
  4. DNằm ngoài NP nhưng khó hơn mọi bài toán NP, chẳng hạn bài toán dừng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một cây nhị phân có gốc 1 với con trái 2 và con phải 3; nút 2 có các con 4 (trái) và 5 (phải). Duyệt thứ tự sau là gì?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D5 4 3 2 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc nào cho phép tính giá trị lớn nhất của mọi cửa sổ kích thước k trong mảng với tổng thời gian O(n)?

  1. AMột danh sách liên kết đơn gồm các phần tử của cửa sổ
  2. BMột deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
  3. CMột đống min được xây lại cho mỗi cửa sổ
  4. DMột mảng đã sắp xếp được cập nhật bằng dịch chuyển
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 4, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 42 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
141012491720211ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Thuật toán Dijkstra

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Dijkstra hoạt động với trọng số không âm; Bellman–Ford xử lý được trọng số âm; Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất.

Đáp số

A · Thuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Thuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Các bài toán NP-đầy đủ là khó nhất trong NP; một thuật toán đa thức cho một bài sẽ cho ra thuật toán cho toàn bộ NP.

Đáp số

B · Thuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 4 5 2 3 1

Vì sao đây là đáp án

Postorder xử lý 4 và 5 trước 2, rồi 3, và cuối cùng là gốc 1.

Đáp số

B · 4 5 2 3 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần

Vì sao đây là đáp án

Phần đầu của deque luôn là giá trị lớn nhất của cửa sổ; mỗi chỉ số vào và rời deque một lần, nên công việc là tuyến tính.

Đáp số

B · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 6

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Đáp số

L = 6

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 54

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

GD (2): lấy
BD (4): lấy
DE (9): lấy
AC (10): lấy
GE (11): bỏ qua, tạo chu trình
BC (12): lấy
AB (14): bỏ qua, tạo chu trình
DF (17): lấy

Tổng trọng số

W = 2 + 4 + 9 + 10 + 12 + 17 = 54

Đáp số

W = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms