Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán Bellman–Ford trên đồ thị có V đỉnh và E cạnh là gì?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phải chứng minh hai điều nào để chứng tỏ một bài toán quyết định X là NP-đầy đủ?

  1. AX không có thuật toán đa thức, và X quyết định được
  2. BX quy dẫn về một bài toán trong P, và X thuộc NP
  3. CX thuộc P, và X quy dẫn về SAT
  4. DX thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một cây nhị phân có gốc 1 với con trái 2 và con phải 3; nút 2 có các con 4 (trái) và 5 (phải). Duyệt thứ tự trước là gì?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bạn phải giữ k giá trị nhỏ nhất từ một luồng n số bằng bộ nhớ O(k). Cách nào chạy trong thời gian O(n log k)?

  1. AMột đống min chứa tất cả n giá trị, từ đó k giá trị nhỏ nhất được lấy ra ở cuối
  2. BMột đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
  3. CMột mảng đã sắp xếp chứa tất cả n giá trị
  4. DMột hàng đợi FIFO gồm k giá trị cuối
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
146138115201516ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 3
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh DF
  8. 8cạnh EF
  9. 9cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(V × E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi vòng trong V − 1 vòng nới lỏng tất cả E cạnh, cho O(VE); đổi lại nó xử lý được trọng số cạnh âm.

Đáp số

A · O(V × E)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Việc thuộc NP cho thấy X không khó hơn NP; phép quy dẫn từ một bài toán NP-đầy đủ đã biết cho thấy X khó ít nhất bằng toàn bộ NP.

Đáp số

D · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 1 2 4 5 3

Vì sao đây là đáp án

Preorder thăm 1, rồi cây con trái của nó (2, 4, 5), rồi 3; các phương án khác là inorder, postorder và duyệt theo mức.

Đáp số

D · 1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến

Vì sao đây là đáp án

Gốc của đống max là giá trị lớn nhất đang giữ; mọi giá trị mới nhỏ hơn sẽ thay nó trong O(log k), nên đống luôn chứa k giá trị nhỏ nhất cho đến hiện tại.

Đáp số

B · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BD

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. DE (5)
2. AC (6)
3. BD (8)
4. CE (11)
5. EF (15)

cạnh số 3

BD

Đáp số

cạnh BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms