Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Bạn sắp xếp một mảng n phần tử một lần rồi trả lời k truy vấn thuộc về bằng tìm kiếm nhị phân. Tổng chi phí là bao nhiêu?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(nk)
  4. DO(n + k)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Độ phức tạp thời gian của việc xây dựng một đống nhị phân từ n phần tử chưa sắp xếp bằng phương pháp từ dưới lên là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân lưu trong mảng bắt đầu từ chỉ số 0, cha của nút ở chỉ số i nằm ở đâu?

  1. AỞ chỉ số i − 1
  2. BỞ chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CỞ chỉ số 2i + 1
  4. DỞ chỉ số ⌊i / 2⌋ + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao máy chủ có thể chọn hàm băm ngẫu nhiên từ một họ phổ quát?

  1. AĐể làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
  2. BĐể loại bỏ nhu cầu đổi kích thước bảng
  3. CĐể đảm bảo không hai khóa nào từng va chạm, bất kể kẻ tấn công gửi khóa nào
  4. DĐể làm bảng băm được sắp xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K6 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K6
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ F đến B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(n log n + k log n)

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp tốn O(n log n) và mỗi truy vấn O(log n); cách này thắng k lần quét tuyến tính (O(nk)) khi k lớn.

Đáp số

B · O(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Cộng chi phí lọc xuống trên các tầng cho một chuỗi hội tụ, nên việc dựng đống chạy trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

D · O(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋

Vì sao đây là đáp án

Các con của i ở 2i + 1 và 2i + 2, nên cha của i là ⌊(i − 1) / 2⌋; với chỉ số bắt đầu từ 1 nó là ⌊i / 2⌋.

Đáp số

B · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm

Vì sao đây là đáp án

Với băm phổ quát, số va chạm kỳ vọng nhỏ đối với mọi tập khóa, vì kẻ tấn công không biết hàm nào được chọn.

Đáp số

A · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 60

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Đáp số

H = 60
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)FB = 0·1 + 0·0 + 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms