Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán quy hoạch động Held–Karp giải chính xác bài toán người bán hàng rong. Thời gian chạy của nó cho n thành phố là bao nhiêu?

  1. AO(n!)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Extract-min hoạt động thế nào trong đống min nhị phân?

  1. AChuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
  2. BXóa phần tử cuối của mảng
  3. CXóa gốc và dịch tất cả phần tử sang trái một vị trí
  4. DTìm trong tất cả các lá giá trị nhỏ nhất mới
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong thuật toán cây khung nhỏ nhất Kruskal, cấu trúc union-find được dùng để làm gì?

  1. ALưu khoảng cách hiện tại của mỗi đỉnh từ nguồn trong quá trình tìm kiếm
  2. BChọn đỉnh bắt đầu
  3. CKiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa
  4. DSắp xếp các cạnh theo trọng số
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Vòng lặp trong chạy khoảng log₂ n lần cho mỗi một trong n lần lặp ngoài, cho O(n log n).

Đáp số

A · O(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n² 2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Có khoảng n 2ⁿ trạng thái, mỗi trạng thái tính trong O(n); đây là hàm mũ nhưng nhanh hơn nhiều so với thử mọi hành trình (n − 1)!.

Đáp số

C · O(n² 2ⁿ)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống

Vì sao đây là đáp án

Phần tử cuối lấp chỗ trống ở gốc và được hoán đổi với con nhỏ hơn cho đến khi tính chất đống được thỏa, tốn O(log n).

Đáp số

A · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Kiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa

Vì sao đây là đáp án

Find cho biết hai đầu mút có cùng thành phần hay không; nếu không, cạnh được thêm vào và union gộp các thành phần.

Đáp số

C · Kiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 0 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)EE = 1·0 + 1·0 + 0·1 + 1·1 + 3·0 + 1·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms