Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian trong trường hợp xấu nhất của quicksort là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao mọi tìm kiếm dựa trên so sánh trong một mảng đã sắp xếp cần Ω(log n) phép so sánh trong trường hợp xấu nhất?

  1. AMột cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
  2. BMọi phần tử phải được so sánh ít nhất một lần
  3. CTìm kiếm nhị phân là thuật toán khả dĩ duy nhất, và nó cần log₂ n phép so sánh
  4. DMỗi phép so sánh mất thời gian logarit
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trie (cây tiền tố) đặc biệt hiệu quả cho:

  1. ASắp xếp các số
  2. BTìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành
  3. CTìm đường đi ngắn nhất
  4. DLưu trữ ma trận
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ATrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  2. BSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
  3. CLưu các cạnh của đồ thị
  4. DCài đặt ngăn xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1517313317ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(D) của đường đi ngắn nhất từ A đến D trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: D
d(D) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Với các pivot liên tục tồi (ví dụ đầu vào đã sắp xếp và pivot là phần tử đầu) các phân hoạch mất cân bằng, cho O(n²). Trường hợp trung bình là O(n log n).

Đáp số

D · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phép so sánh nhiều nhất làm giảm một nửa tập các khả năng còn lại, nên để phân biệt n vị trí cần ít nhất log₂ n phép so sánh.

Đáp số

A · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Tìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành

Vì sao đây là đáp án

Trie lưu các chuỗi theo từng ký tự dọc đường đi, nên tra cứu và truy vấn tiền tố tốn thời gian tỷ lệ với độ dài khóa.

Đáp số

B · Tìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

A · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

B, C, D, E → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(D) = 11

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 15, C: 1
C (1): B: 8, E: 14
B (8): D: 11
D (11): F: 12
F (12)
E (14)

Đường đi ngắn nhất

A → C → B → D
d(D) = 11

Đáp số

d(D) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms