Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Prim xây dựng cây khung nhỏ nhất như thế nào?

  1. ANó xóa cạnh đắt nhất cho đến khi không còn chu trình
  2. BNó sắp xếp mọi cạnh theo trọng số và thêm từng cạnh trừ khi nó tạo chu trình trong rừng
  3. CNó chạy tìm kiếm theo chiều rộng và giữ lại cây BFS
  4. DNó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp tô-pô chỉ khả thi đối với:

  1. AĐồ thị vô hướng
  2. BĐồ thị có trọng số âm
  3. CĐồ thị có hướng không chu trình
  4. DĐồ thị đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. AMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
  2. BMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
  3. CChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
  4. DCả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây splay làm gì sau mỗi lần truy cập?

  1. AChuyển nút vừa truy cập xuống một lá
  2. BXoay nút vừa truy cập lên gốc
  3. CXây lại toàn bộ cây ở dạng cân bằng
  4. DTô lại màu các nút trên đường tìm kiếm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 9 đỉnh và 15 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 9|E| = 15
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
47541415105119ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Prim, với hàng đợi ưu tiên các cạnh nối ra ngoài, chạy trong O(E log V) với đống nhị phân.

Đáp số

D · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đồ thị có hướng không chu trình

Vì sao đây là đáp án

Thứ tự tô-pô tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có hướng không có chu trình; nó tìm được trong O(V + E) bằng DFS hoặc thuật toán Kahn.

Đáp số

C · Đồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

C · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Xoay nút vừa truy cập lên gốc

Vì sao đây là đáp án

Splay đưa nút vừa truy cập lên gốc bằng các phép xoay; một thao tác đơn lẻ có thể tốn O(n), nhưng chi phí khấu hao là O(log n).

Đáp số

B · Xoay nút vừa truy cập lên gốc
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 7

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

9 − 1 = 8

Các cạnh cần bỏ

k = 15 − 8 = 7

Đáp số

k = 7
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): C: 4
2. C (4): B: 11, G: 9
3. G (9): D: 20, E: 18
4. B (11): D: 16
5. D (16): F: 30
6. E (18)
7. F (30)

vòng 5

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms