Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao quy hoạch động không đem lại sự tăng tốc thực sự cho sắp xếp trộn?

  1. ACác bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
  2. BQuy hoạch động chỉ hoạt động trên các bài toán đồ thị, không dùng được trên mảng
  3. CSắp xếp trộn không có cấu trúc đệ quy
  4. DSắp xếp trộn đã là O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về việc chọn phần tử nhỏ thứ k của một mảng chưa sắp xếp là đúng?

  1. AViệc chọn chỉ có thể thực hiện trong O(n²)
  2. BQuickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
  3. CViệc chọn luôn cần Ω(n log n) vì nó đòi hỏi sắp xếp
  4. DQuickselect chạy trong O(log n) ở trường hợp xấu nhất, vì nó chỉ đệ quy một phía của phần tử chốt
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. AChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
  2. BTìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  3. CCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  4. DKhông nút nào có hai con
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bộ lọc Bloom có thể trả lời "phần tử này có trong tập không?" với:

  1. ACó thể có âm tính giả nhưng không có dương tính giả
  2. BChỉ trả lời cho các số
  3. CLuôn luôn chính xác
  4. DCó thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 4, 4 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 44 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng

Vì sao đây là đáp án

Các nửa của sắp xếp trộn rời nhau và mỗi nửa được giải một lần; DP chỉ giúp khi các bài toán con lặp lại, như trong Fibonacci.

Đáp số

A · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Công việc kỳ vọng của Quickselect là n + n/2 + n/4 + ... = O(n) với pivot ngẫu nhiên; chọn pivot là trung vị của các trung vị làm trường hợp xấu nhất tuyến tính.

Đáp số

B · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

A · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Nếu bất kỳ bit nào của một phần tử là 0 thì chắc chắn nó vắng mặt; nếu tất cả là 1 thì có lẽ nó có mặt. Bộ lọc Bloom đánh đổi độ chính xác lấy rất ít bộ nhớ.

Đáp số

D · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Đáp số

L = 8

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Thêm một bước

(M³)CC = 1·1 + 1·1 + 2·0 + 1·0 + 1·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms