Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán quy hoạch động chuẩn cho dãy con chung dài nhất của các chuỗi có độ dài m và n là gì?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán nào tìm cây khung nhỏ nhất bằng cách liên tục thêm cạnh rẻ nhất không tạo chu trình?

  1. AThuật toán Prim bắt đầu từ một nút
  2. BThuật toán Dijkstra
  3. CFloyd–Warshall
  4. DThuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Kiểm tra cạnh (u, v) có tồn tại hay không bằng ma trận kề mất bao lâu?

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(1)
  4. DO(V)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào mà cây đỏ-đen phải thỏa mãn?

  1. AMọi nút đỏ phải có các con màu đỏ, nên các nút đỏ luôn tạo thành chuỗi liền mạch đến các lá
  2. BMọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
  3. CMọi nút phải là đỏ
  4. DGốc phải là đỏ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ D đến B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(mn)

Vì sao đây là đáp án

Bảng có (m + 1)(n + 1) ô và mỗi ô được tính trong O(1) từ các ô lân cận.

Đáp số

B · O(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Thuật toán Kruskal

Vì sao đây là đáp án

Kruskal sắp xếp các cạnh theo trọng số và thêm chúng nếu chúng nối các thành phần khác nhau; Prim phát triển một cây từ đỉnh xuất phát.

Đáp số

D · Thuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Phần tử ma trận ở hàng u, cột v cho biết ngay cạnh có tồn tại hay không; danh sách kề có thể phải quét các láng giềng của u.

Đáp số

C · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen

Vì sao đây là đáp án

Quy tắc đỏ-đen: nút là đỏ hoặc đen, gốc đen, nút đỏ có con đen, và mọi đường đi có cùng chiều cao đen, giữ chiều cao ≤ 2 log₂(n + 1).

Đáp số

B · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)DB = 0·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms