Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Có đúng không khi nói một thuật toán O(n²) cũng là O(n³)?

  1. AKhông, vì Big O phải luôn cho tốc độ tăng chính xác của hàm
  2. BĐúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
  3. CKhông, vì n³ nhỏ hơn n² khi n lớn
  4. DĐúng, nhưng chỉ khi n nhỏ hơn 100
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí khấu hao của việc tăng một bộ đếm nhị phân là bao nhiêu, biết rằng một lần tăng có thể lật nhiều bit?

  1. AO(log n) mỗi lần tăng
  2. BO(n) mỗi lần tăng
  3. CO(n log n) mỗi lần tăng
  4. DO(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều nào đúng với ma trận kề của một đồ thị vô hướng?

  1. ANó luôn là ma trận tam giác trên
  2. BNó đối xứng qua đường chéo chính
  3. CĐường chéo chính của nó luôn chứa các số một
  4. DMỗi hàng có đúng một số 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Một nút AVL mất cân bằng vì cây con phải của con trái nó trở nên quá cao (trường hợp trái-phải). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. AMột phép xoay phải đơn tại nút
  2. BMột phép xoay trái đơn tại nút
  3. CXoay phải tại con trái, rồi xoay trái tại nút
  4. DXoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 4, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1917151113149ABCDE

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³

Vì sao đây là đáp án

Big O là cận trên, nên phát biểu đúng nhưng không chặt; Θ(n²) nêu tốc độ tăng chính xác.

Đáp số

B · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(1) mỗi lần tăng

Vì sao đây là đáp án

Qua n lần tăng, bit i lật khoảng n / 2ⁱ lần, nên tổng là dưới 2n lần lật, trung bình O(1) mỗi lần.

Đáp số

D · O(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Nó đối xứng qua đường chéo chính

Vì sao đây là đáp án

Trong đồ thị vô hướng cạnh {u, v} nghĩa là cả M[u][v] và M[v][u] đều được đặt, nên ma trận bằng chuyển vị của nó.

Đáp số

B · Nó đối xứng qua đường chéo chính
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút

Vì sao đây là đáp án

Phép xoay đầu tiên chuyển trường hợp trái-phải thành trái-trái, rồi một phép xoay phải tại nút mất cân bằng sẽ sửa nó.

Đáp số

D · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

Đáp số

L = 10

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 50

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BE (9): lấy
BD (11): lấy
CE (13): lấy
DE (14): bỏ qua, tạo chu trình
BC (15): bỏ qua, tạo chu trình
AC (17): lấy

Tổng trọng số

W = 9 + 11 + 13 + 17 = 50

Đáp số

W = 50

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms