Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một thuật toán tham lam:

  1. AThử mọi lời giải có thể
  2. BLuôn cho lời giải tối ưu
  3. CChỉ dùng đệ quy
  4. DĐưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí khấu hao của việc tăng một bộ đếm nhị phân là bao nhiêu, biết rằng một lần tăng có thể lật nhiều bit?

  1. AO(n log n) mỗi lần tăng
  2. BO(n) mỗi lần tăng
  3. CO(log n) mỗi lần tăng
  4. DO(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tìm một khóa trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng là bao nhiêu?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Một nút AVL mất cân bằng vì cây con phải của con trái nó trở nên quá cao (trường hợp trái-phải). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. AMột phép xoay trái đơn tại nút
  2. BXoay phải tại con trái, rồi xoay trái tại nút
  3. CXoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
  4. DMột phép xoay phải đơn tại nút
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 14 đỉnh và 20 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 14|E| = 20
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1371391110133ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán tham lam nhanh và tối ưu cho một số bài toán (ví dụ Dijkstra, mã hóa Huffman) nhưng không phải nói chung (ví dụ đổi tiền với một số hệ thống đồng xu).

Đáp số

D · Đưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(1) mỗi lần tăng

Vì sao đây là đáp án

Qua n lần tăng, bit i lật khoảng n / 2ⁱ lần, nên tổng là dưới 2n lần lật, trung bình O(1) mỗi lần.

Đáp số

D · O(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây cân bằng có chiều cao khoảng log₂ n, nên một lần tìm kiếm đi theo một đường từ gốc đến lá.

Đáp số

B · O(log n)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút

Vì sao đây là đáp án

Phép xoay đầu tiên chuyển trường hợp trái-phải thành trái-trái, rồi một phép xoay phải tại nút mất cân bằng sẽ sửa nó.

Đáp số

C · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 7

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

14 − 1 = 13

Các cạnh cần bỏ

k = 20 − 13 = 7

Đáp số

k = 7
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 20, D: 26, E: 16
3. E (16): F: 29
4. C (20)
5. D (26)
6. F (29)

vòng 5

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms