Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Floyd–Warshall tính gì, và nhanh đến mức nào?

  1. AMột thứ tự tô-pô trong O(V²)
  2. BĐường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến mọi đỉnh khác trong O(V + E)
  3. CĐường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
  4. DMột cây khung nhỏ nhất trong O(E log V)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sự khác biệt giữa một bài toán bất khả quyết định và một bài toán không khả thi (intractable) là gì?

  1. ABài toán bất khả quyết định thuộc NP, còn bài toán không khả thi thuộc P
  2. BBài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
  3. CCả hai đều có nghĩa là bài toán hoàn toàn không có thuật toán
  4. DBài toán không khả thi không thể giải bằng bất kỳ thuật toán nào, còn bài toán bất khả quyết định chỉ cần thời gian hàm mũ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao duyệt mảng thường nhanh hơn nhiều trong thực tế so với duyệt danh sách liên kết cùng độ dài?

  1. ADuyệt mảng tổng cộng là O(1) còn duyệt danh sách liên kết là O(n)
  2. BCác phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU
  3. CMảng dùng ít lệnh hơn để so sánh giá trị
  4. DDanh sách liên kết luôn lưu phần tử trên đĩa
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Một đối tượng được lưu làm khóa trong bản đồ băm, rồi một trường được hàm băm của nó sử dụng bị thay đổi. Kết quả có khả năng nhất là gì?

  1. ABản đồ tự động chuyển khóa sang ngăn mới
  2. BBản đồ ném lỗi ngay lúc trường thay đổi
  3. CTra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
  4. DKhông có gì thay đổi, vì giá trị băm của khóa chỉ được tính một lần khi chương trình khởi động
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1926893520ABCDEF

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh F. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3.

bắt đầu: Fk = 3
  1. 1cạnh AC
  2. 2cạnh BC
  3. 3cạnh BD
  4. 4cạnh CE
  5. 5cạnh DE
  6. 6cạnh DF
  7. 7cạnh EF
  8. 8cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)

Vì sao đây là đáp án

Floyd–Warshall là thuật toán quy hoạch động cho phép lần lượt từng đỉnh làm điểm trung gian, dùng thời gian O(V³).

Đáp số

C · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm

Vì sao đây là đáp án

Bài toán dừng hoàn toàn không có thuật toán; một bài toán NP-khó như TSP có thể giải bằng vét cạn, chỉ là không trong thời gian đa thức đã biết.

Đáp số

B · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Các phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU

Vì sao đây là đáp án

Bộ nhớ liền kề cho tính cục bộ tham chiếu tốt, trong khi các nút liên kết có thể rải rác và gây nhiều lần trượt bộ nhớ đệm.

Đáp số

B · Các phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Tra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ

Vì sao đây là đáp án

Vị trí của khóa được chọn từ giá trị băm cũ; với giá trị băm mới, các lần tra cứu tìm sai ngăn, nên khóa phải bất biến.

Đáp số

C · Tra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BD

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. DF (3)
2. EF (5)
3. BD (6)
4. BC (2)
5. AC (19)

cạnh số 3

BD

Đáp số

cạnh BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms