Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao quy hoạch động không đem lại sự tăng tốc thực sự cho sắp xếp trộn?

  1. ACác bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
  2. BQuy hoạch động chỉ hoạt động trên các bài toán đồ thị, không dùng được trên mảng
  3. CSắp xếp trộn đã là O(n)
  4. DSắp xếp trộn không có cấu trúc đệ quy
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Kỹ thuật nào cho thời gian chạy kỳ vọng O(n log n) của quicksort trên mọi đầu vào?

  1. ALuôn chọn phần tử đầu tiên
  2. BChỉ dùng đệ quy ở phía bên trái
  3. CChọn pivot đồng đều ngẫu nhiên
  4. DSắp xếp đầu vào trước khi chạy quicksort
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Phương pháp xử lý va chạm nào lưu các khóa va chạm trong một danh sách ở cùng một ngăn?

  1. ADò tuyến tính
  2. BDò bậc hai
  3. CBăm kép
  4. DXâu chuỗi riêng (separate chaining)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ATrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  2. BCài đặt ngăn xếp
  3. CLưu các cạnh của đồ thị
  4. DSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 4, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 32 × deg 42 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
105869411215ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng

Vì sao đây là đáp án

Các nửa của sắp xếp trộn rời nhau và mỗi nửa được giải một lần; DP chỉ giúp khi các bài toán con lặp lại, như trong Fibonacci.

Đáp số

A · Các bài toán con của nó không chồng lặp, nên không có gì để tái sử dụng
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Chọn pivot đồng đều ngẫu nhiên

Vì sao đây là đáp án

Với pivot ngẫu nhiên, thời gian chạy kỳ vọng là O(n log n) cho mọi đầu vào; các trường hợp xấu vẫn tồn tại nhưng rất khó xảy ra.

Đáp số

C · Chọn pivot đồng đều ngẫu nhiên
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Xâu chuỗi riêng (separate chaining)

Vì sao đây là đáp án

Xâu chuỗi giữ một danh sách liên kết (hoặc cấu trúc khác) cho mỗi ngăn; địa chỉ mở tìm một ô trống khác ngay trong bảng.

Đáp số

D · Xâu chuỗi riêng (separate chaining)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

A · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Đáp số

L = 8

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 38

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

GC (1): lấy
GB (4): lấy
BC (5): bỏ qua, tạo chu trình
DE (6): lấy
BD (8): lấy
DF (9): lấy
AC (10): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 4 + 6 + 8 + 9 + 10 = 38

Đáp số

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms