Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm theo chiều rộng trên một đồ thị không trọng số tìm ra:

  1. AĐường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
  2. BĐường đi ngắn nhất trong đồ thị có chứa các cạnh với trọng số âm
  3. CThứ tự tô-pô trong mọi đồ thị
  4. DCây khung nhỏ nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí khấu hao của việc tăng một bộ đếm nhị phân là bao nhiêu, biết rằng một lần tăng có thể lật nhiều bit?

  1. AO(1) mỗi lần tăng
  2. BO(n) mỗi lần tăng
  3. CO(n log n) mỗi lần tăng
  4. DO(log n) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, hệ số tải tối đa có thể là bao nhiêu?

  1. A1
  2. BKhông có mức tối đa
  3. C0,5
  4. D2
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào mà cây đỏ-đen phải thỏa mãn?

  1. AMọi nút phải là đỏ
  2. BMọi nút đỏ phải có các con màu đỏ, nên các nút đỏ luôn tạo thành chuỗi liền mạch đến các lá
  3. CGốc phải là đỏ
  4. DMọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
512131313911210ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát

Vì sao đây là đáp án

BFS thăm các nút theo thứ tự khoảng cách (số cạnh) từ nguồn, nên tìm được đường đi ngắn nhất không trọng số trong O(V + E).

Đáp số

A · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(1) mỗi lần tăng

Vì sao đây là đáp án

Qua n lần tăng, bit i lật khoảng n / 2ⁱ lần, nên tổng là dưới 2n lần lật, trung bình O(1) mỗi lần.

Đáp số

A · O(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · 1

Vì sao đây là đáp án

Với địa chỉ mở, mọi khóa được lưu ngay trong bảng, nên n không thể vượt m; xâu chuỗi riêng có thể có hệ số tải trên 1.

Đáp số

A · 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen

Vì sao đây là đáp án

Quy tắc đỏ-đen: nút là đỏ hoặc đen, gốc đen, nút đỏ có con đen, và mọi đường đi có cùng chiều cao đen, giữ chiều cao ≤ 2 log₂(n + 1).

Đáp số

D · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 27

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 5, C: 12
B (5): D: 18, G: 16
C (12): E: 25
G (16)
D (18): F: 27
E (25)
F (27)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 27

Đáp số

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms