Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao nhiều hàm sắp xếp trong thư viện chuyển sang sắp xếp chèn cho các mảng con rất nhỏ?

  1. ASắp xếp chèn là O(n log n) trong trường hợp xấu nhất
  2. BSắp xếp chèn dùng ít bộ nhớ hơn mọi thuật toán sắp xếp khác trên đầu vào lớn
  3. CCác thuật toán đệ quy không xử lý được mảng dưới 10 phần tử
  4. DSắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Bellman–Ford phát hiện chu trình trọng số âm có thể đến được từ nguồn bằng cách nào?

  1. ASau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
  2. BNó chạy thuật toán Dijkstra hai lần và so sánh hai kết quả khoảng cách
  3. CNó kiểm tra xem có cạnh nào có trọng số âm không
  4. DNó đếm các chu trình bằng tìm kiếm theo chiều sâu
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. AMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
  2. BMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
  3. CCả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
  4. DChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các quy tắc cây đỏ-đen đảm bảo điều gì về chiều cao của cây có n khóa?

  1. AChiều cao tối đa là n / 2
  2. BChiều cao chính xác là log2 n
  3. CChiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
  4. DChiều cao tối đa là log2 n + 1
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 4 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1531610885ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(E) của đường đi ngắn nhất từ A đến E trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: E
d(E) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Với n nhỏ, vòng lặp đơn giản của sắp xếp chèn thắng chi phí đệ quy của quicksort hay sắp xếp trộn, dù nó là O(n²).

Đáp số

D · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không

Vì sao đây là đáp án

Mọi khoảng cách ngắn nhất thực sự được tìm thấy trong V − 1 vòng; nếu một cạnh vẫn có thể được cải thiện thì phải tồn tại chu trình âm.

Đáp số

A · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)

Vì sao đây là đáp án

Mọi đường đi có cùng số nút đen và các nút đỏ không được kề nhau, nên đường dài nhất tối đa gấp đôi đường ngắn nhất, cho chiều cao O(log n).

Đáp số

C · Chiều cao tối đa là 2 log2(n + 1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 15

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 31 = 2(L + 9) − 2
L = 15

Đáp số

L = 15

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(E) = 9

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 15, C: 3
C (3): B: 4, E: 9
B (4)
E (9): D: 19, F: 17
F (17)
D (19)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E
d(E) = 9

Đáp số

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms