Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của Fibonacci đệ quy ngây thơ (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) là:

  1. ALogarit
  2. BHằng số
  3. CTuyến tính
  4. DHàm mũ
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp tô-pô chỉ khả thi đối với:

  1. AĐồ thị có trọng số âm
  2. BĐồ thị vô hướng
  3. CĐồ thị đầy đủ
  4. DĐồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tìm một khóa trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng là bao nhiêu?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao không thể đơn giản xóa phần tử khỏi bộ lọc Bloom chuẩn bằng cách xóa các bit của chúng?

  1. ACác bit trong bộ lọc Bloom không thể thay đổi sau khi tạo
  2. BViệc xóa sẽ làm tỷ lệ dương tính giả tăng lên 100%
  3. CBộ lọc Bloom lưu đầy đủ các phần tử, và chúng không thể được tìm lại sau khi đã băm
  4. DCác bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ E đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Hàm mũ

Vì sao đây là đáp án

Cây lời gọi tăng xấp xỉ φⁿ (khoảng 1,618ⁿ). Ghi nhớ giảm nó xuống O(n).

Đáp số

D · Hàm mũ
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đồ thị có hướng không chu trình

Vì sao đây là đáp án

Thứ tự tô-pô tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có hướng không có chu trình; nó tìm được trong O(V + E) bằng DFS hoặc thuật toán Kahn.

Đáp số

D · Đồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây cân bằng có chiều cao khoảng log₂ n, nên một lần tìm kiếm đi theo một đường từ gốc đến lá.

Đáp số

A · O(log n)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Xóa một bit dùng chung sẽ làm phần tử khác trông như vắng mặt; bộ lọc Bloom đếm giữ bộ đếm thay vì bit để cho phép xóa.

Đáp số

D · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms