Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao nhiều hàm sắp xếp trong thư viện chuyển sang sắp xếp chèn cho các mảng con rất nhỏ?

  1. ASắp xếp chèn dùng ít bộ nhớ hơn mọi thuật toán sắp xếp khác trên đầu vào lớn
  2. BSắp xếp chèn là O(n log n) trong trường hợp xấu nhất
  3. CSắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
  4. DCác thuật toán đệ quy không xử lý được mảng dưới 10 phần tử
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán dừng cho thấy rằng:

  1. AKhông thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không
  2. BMọi chương trình cuối cùng đều dừng
  3. CMột số chương trình chạy nhanh hơn trên máy tính nhanh hơn, nên việc dừng phụ thuộc vào phần cứng
  4. DNên tránh các vòng lặp
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một cây nhị phân có gốc 1 với con trái 2 và con phải 3; nút 2 có các con 4 (trái) và 5 (phải). Duyệt thứ tự trước là gì?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 4 5 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 5 2 3 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây cơ số (radix tree, trie nén) cải thiện trie thông thường như thế nào?

  1. ANó sắp các con của mỗi nút theo tần suất
  2. BNó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu
  3. CNó chỉ giữ chữ cái đầu của mỗi từ
  4. DNó lưu mỗi từ trong một bảng băm ở gốc thay vì trong các nút riêng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 13 đỉnh và 17 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 13|E| = 17
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
15215514101212ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Với n nhỏ, vòng lặp đơn giản của sắp xếp chèn thắng chi phí đệ quy của quicksort hay sắp xếp trộn, dù nó là O(n²).

Đáp số

C · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Không thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không

Vì sao đây là đáp án

Turing chỉ ra rằng bài toán dừng là bất khả quyết định: giả sử tồn tại một bộ quyết định sẽ dẫn đến mâu thuẫn với một chương trình làm điều ngược lại.

Đáp số

A · Không thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 1 2 4 5 3

Vì sao đây là đáp án

Preorder thăm 1, rồi cây con trái của nó (2, 4, 5), rồi 3; các phương án khác là inorder, postorder và duyệt theo mức.

Đáp số

B · 1 2 4 5 3
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Nó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu

Vì sao đây là đáp án

Thu gọn các đường không phân nhánh làm giảm số nút và bộ nhớ dùng trong khi vẫn giữ được tìm kiếm tiền tố.

Đáp số

B · Nó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 5

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

13 − 1 = 12

Các cạnh cần bỏ

k = 17 − 12 = 5

Đáp số

k = 5
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 15
2. B (15): C: 17, D: 30, E: 27
3. C (17): E: 22
4. E (22): F: 34
5. D (30)
6. F (34)

vòng 5

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms