Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một thuật toán tham lam:

  1. AĐưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước
  2. BChỉ dùng đệ quy
  3. CLuôn cho lời giải tối ưu
  4. DThử mọi lời giải có thể
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao mọi tìm kiếm dựa trên so sánh trong một mảng đã sắp xếp cần Ω(log n) phép so sánh trong trường hợp xấu nhất?

  1. AMột cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
  2. BMọi phần tử phải được so sánh ít nhất một lần
  3. CMỗi phép so sánh mất thời gian logarit
  4. DTìm kiếm nhị phân là thuật toán khả dĩ duy nhất, và nó cần log₂ n phép so sánh
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Danh sách kề dùng bao nhiêu bộ nhớ cho đồ thị có V đỉnh và E cạnh?

  1. AO(E²)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao cây B được dùng trong cơ sở dữ liệu và hệ thống tệp?

  1. AChúng lưu dữ liệu không sắp xếp
  2. BChúng dùng ít bộ nhớ hơn bất kỳ mảng nào, nên toàn bộ chỉ mục luôn vừa trong bộ nhớ chính
  3. CHệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm
  4. DChúng không cần cân bằng lại
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1972166311128ABCDEFG

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 3
  1. 1cạnh AC
  2. 2cạnh BC
  3. 3cạnh CE
  4. 4cạnh DF
  5. 5cạnh EF
  6. 6cạnh GB
  7. 7cạnh GC
  8. 8cạnh GD
  9. 9cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán tham lam nhanh và tối ưu cho một số bài toán (ví dụ Dijkstra, mã hóa Huffman) nhưng không phải nói chung (ví dụ đổi tiền với một số hệ thống đồng xu).

Đáp số

A · Đưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phép so sánh nhiều nhất làm giảm một nửa tập các khả năng còn lại, nên để phân biệt n vị trí cần ít nhất log₂ n phép so sánh.

Đáp số

A · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(V + E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi đỉnh có một danh sách và mỗi cạnh xuất hiện một lần (có hướng) hoặc hai lần (vô hướng), cho O(V + E).

Đáp số

C · O(V + E)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Hệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm

Vì sao đây là đáp án

Cây B lưu nhiều khóa trên mỗi nút, nên chiều cao nhỏ và mỗi lần tra cứu cần ít lần đọc khối; cây B+ còn liên kết các lá để quét theo khoảng.

Đáp số

C · Hệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Các đỉnh lẻ

A, B, E, F → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh EF

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. CE (2)
2. GB (3)
3. EF (6)
4. BC (7)
5. GD (12)
6. AC (19)

cạnh số 3

EF

Đáp số

cạnh EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms