Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Prim xây dựng cây khung nhỏ nhất như thế nào?

  1. ANó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
  2. BNó chạy tìm kiếm theo chiều rộng và giữ lại cây BFS
  3. CNó xóa cạnh đắt nhất cho đến khi không còn chu trình
  4. DNó sắp xếp mọi cạnh theo trọng số và thêm từng cạnh trừ khi nó tạo chu trình trong rừng
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + n log n có nghiệm là gì?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân lưu trong mảng bắt đầu từ chỉ số 0, cha của nút ở chỉ số i nằm ở đâu?

  1. AỞ chỉ số ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BỞ chỉ số i − 1
  3. CỞ chỉ số 2i + 1
  4. DỞ chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây splay làm gì sau mỗi lần truy cập?

  1. AXoay nút vừa truy cập lên gốc
  2. BXây lại toàn bộ cây ở dạng cân bằng
  3. CTô lại màu các nút trên đường tìm kiếm
  4. DChuyển nút vừa truy cập xuống một lá
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 15 đỉnh và 22 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 15|E| = 22
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Prim, với hàng đợi ưu tiên các cạnh nối ra ngoài, chạy trong O(E log V) với đống nhị phân.

Đáp số

A · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Θ(n log² n)

Vì sao đây là đáp án

Tầng k thực hiện khoảng n log(n / 2ᵏ) công việc, và cộng trên log n tầng cho Θ(n log² n), trường hợp hai mở rộng của định lý chủ.

Đáp số

D · Θ(n log² n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋

Vì sao đây là đáp án

Các con của i ở 2i + 1 và 2i + 2, nên cha của i là ⌊(i − 1) / 2⌋; với chỉ số bắt đầu từ 1 nó là ⌊i / 2⌋.

Đáp số

D · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Xoay nút vừa truy cập lên gốc

Vì sao đây là đáp án

Splay đưa nút vừa truy cập lên gốc bằng các phép xoay; một thao tác đơn lẻ có thể tốn O(n), nhưng chi phí khấu hao là O(log n).

Đáp số

A · Xoay nút vừa truy cập lên gốc
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

15 − 1 = 14

Các cạnh cần bỏ

k = 22 − 14 = 8

Đáp số

k = 8
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms