Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm chạy một vòng lặp n lần lặp rồi, tách biệt, một vòng lặp khác n lần lặp. Độ phức tạp thời gian của nó là gì?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao thuật toán Dijkstra có thể cho kết quả sai khi một số trọng số cạnh âm?

  1. AMột đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
  2. BSố âm không thể lưu trong hàng đợi ưu tiên
  3. CNó chỉ hoạt động trên đồ thị vô hướng
  4. DNó rơi vào vòng lặp vô hạn ở mọi cạnh âm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Ma trận kề của một đồ thị có V đỉnh dùng bao nhiêu bộ nhớ?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bộ đệm vòng, front == rear có thể nghĩa là rỗng hoặc đầy. Cách phổ biến để phân biệt là gì?

  1. ALưu front và rear trong cùng một biến
  2. BLuôn xóa bộ đệm bất cứ khi nào front bằng rear, nên trạng thái là rỗng
  3. CGiữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô
  4. DLàm kích thước bộ đệm là lũy thừa của hai
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
18162189116ABCDEF

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

n + n = 2n, và các hệ số hằng bị bỏ, nên hàm là O(n).

Đáp số

D · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn

Vì sao đây là đáp án

Bước tham lam dựa vào trọng số không âm để các khoảng cách đã lấy ra là cuối cùng; Bellman–Ford được dùng khi trọng số có thể âm.

Đáp số

A · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Ma trận kề lưu V × V phần tử, hiệu quả với đồ thị dày; danh sách kề dùng O(V + E), tốt hơn cho đồ thị thưa.

Đáp số

A · O(V²)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Giữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô

Vì sao đây là đáp án

Với bộ đếm, rỗng nghĩa là count = 0 và đầy nghĩa là count = sức chứa; với một ô trống, đầy được định nghĩa là (rear + 1) mod n == front.

Đáp số

C · Giữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 36

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BD (1): lấy
BC (2): lấy
BE (6): lấy
CE (8): bỏ qua, tạo chu trình
DE (9): bỏ qua, tạo chu trình
DF (11): lấy
AC (16): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 2 + 6 + 11 + 16 = 36

Đáp số

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms