Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = T(n − 1) + O(n) có nghiệm là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Dùng định lý chủ, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) có nghiệm là:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một ứng dụng cần tra cứu nhanh, đồng thời cần liệt kê khóa theo thứ tự đã sắp và trả lời các truy vấn khoảng. Cấu trúc nào phù hợp nhất?

  1. ACây tìm kiếm nhị phân cân bằng
  2. BDanh sách liên kết không sắp xếp
  3. CBảng băm
  4. DNgăn xếp
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Độ phức tạp thời gian của decrease-key trong đống nhị phân (biết vị trí phần tử) là:

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K7 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K7
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
82051979311ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 5; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 5
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh DF
  8. 8cạnh EF

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Công việc cộng lại xấp xỉ n² / 2, đó là công thức truy hồi của sắp xếp chọn hoặc của quicksort với pivot tệ nhất.

Đáp số

B · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Θ(n³)

Vì sao đây là đáp án

log₂ 8 = 3, và n² tăng chậm hơn n³, nên các lá chiếm ưu thế: Θ(n³).

Đáp số

C · Θ(n³)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng

Vì sao đây là đáp án

BST cân bằng cho tra cứu O(log n) và giữ khóa có thứ tự, nên duyệt thứ tự giữa và truy vấn khoảng dễ dàng; bảng băm rải khóa ngẫu nhiên.

Đáp số

A · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Sau khi giảm khóa, phần tử được đẩy lên nhiều nhất bằng chiều cao của đống. Đống Fibonacci đạt decrease-key khấu hao O(1).

Đáp số

A · O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 360

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Đáp số

H = 360
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh DE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. DF (3)
2. BC (5)
3. CE (7)
4. AB (8)
5. DE (9)

cạnh số 5

DE

Đáp số

cạnh DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms