Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán nào tìm đường đi ngắn nhất từ một nguồn trong đồ thị có trọng số cạnh không âm?

  1. AThuật toán Dijkstra
  2. BThuật toán Kruskal
  3. CTìm kiếm theo chiều sâu
  4. DBắt buộc phải dùng Bellman–Ford trong mọi trường hợp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp tô-pô chỉ khả thi đối với:

  1. AĐồ thị đầy đủ
  2. BĐồ thị vô hướng
  3. CĐồ thị có trọng số âm
  4. DĐồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Làm thế nào để tìm khóa nhỏ nhất trong cây tìm kiếm nhị phân?

  1. AChỉ nhìn vào gốc
  2. BThăm mọi lá và so sánh chúng
  3. CĐi theo các con phải từ gốc cho đến khi không còn con phải
  4. DĐi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, vì sao việc xóa thường được thực hiện bằng dấu "tombstone"?

  1. ANó làm bảng được sắp xếp
  2. BCác khóa đã xóa phải được giữ mãi vì lý do bảo mật, nên các ô không bao giờ được tái sử dụng
  3. CLàm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
  4. DTombstone làm băm nhanh hơn
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 8 đỉnh và 13 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 8|E| = 13
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
51495713565ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Thuật toán Dijkstra

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Dijkstra hoạt động với trọng số không âm; Bellman–Ford xử lý được trọng số âm; Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất.

Đáp số

A · Thuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đồ thị có hướng không chu trình

Vì sao đây là đáp án

Thứ tự tô-pô tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có hướng không có chu trình; nó tìm được trong O(V + E) bằng DFS hoặc thuật toán Kahn.

Đáp số

D · Đồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Đi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái

Vì sao đây là đáp án

Nút ngoài cùng bên trái không có khóa nhỏ hơn trong cây, nên nó là giá trị nhỏ nhất; chi phí tỷ lệ với chiều cao.

Đáp số

D · Đi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác

Vì sao đây là đáp án

Nếu ô đã xóa trở thành trống, các lần tìm sau có thể dừng sớm và bỏ sót những khóa được đặt xa hơn trên chuỗi dò.

Đáp số

C · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 6

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

8 − 1 = 7

Các cạnh cần bỏ

k = 13 − 7 = 6

Đáp số

k = 6
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 9

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): E: 6
B (5): D: 14, G: 10
E (6): D: 13, F: 9
F (9): D: 10
D (10)
G (10)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 9

Đáp số

d(F) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms