Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian khấu hao của việc thêm phần tử vào cuối một mảng động nhân đôi dung lượng khi đầy là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán thỏa mãn nào sau đây được biết là giải được trong thời gian đa thức?

  1. ASAT tổng quát trên các công thức dạng chuẩn tắc hội
  2. B2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
  3. C3-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có đúng ba literal
  4. DThỏa mãn mạch
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. ACả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
  2. BChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
  3. CMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
  4. DMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào mà cây đỏ-đen phải thỏa mãn?

  1. AMọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
  2. BMọi nút phải là đỏ
  3. CGốc phải là đỏ
  4. DMọi nút đỏ phải có các con màu đỏ, nên các nút đỏ luôn tạo thành chuỗi liền mạch đến các lá
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 9 đỉnh và 14 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 9|E| = 14
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ A đến E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Việc sao chép tất cả phần tử chỉ xảy ra ở các lũy thừa của hai; trải ra trên mọi lần thêm, chi phí trung bình mỗi lần thêm là hằng số.

Đáp số

A · O(1)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal

Vì sao đây là đáp án

2-SAT thuộc P (thời gian tuyến tính qua các thành phần liên thông mạnh), trong khi 3-SAT là NP-đầy đủ.

Đáp số

B · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

B · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen

Vì sao đây là đáp án

Quy tắc đỏ-đen: nút là đỏ hoặc đen, gốc đen, nút đỏ có con đen, và mọi đường đi có cùng chiều cao đen, giữ chiều cao ≤ 2 log₂(n + 1).

Đáp số

A · Mọi đường đi từ một nút đến các lá hậu duệ có cùng số nút đen
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 6

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

9 − 1 = 8

Các cạnh cần bỏ

k = 14 − 8 = 6

Đáp số

k = 6
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)AE = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 0·1 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms