Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm giai thừa đệ quy đơn giản fact(n) = n × fact(n − 1) dùng bao nhiêu không gian ngăn xếp?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp tô-pô chỉ khả thi đối với:

  1. AĐồ thị đầy đủ
  2. BĐồ thị vô hướng
  3. CĐồ thị có hướng không chu trình
  4. DĐồ thị có trọng số âm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chương trình đang chạy dùng cấu trúc dữ liệu nào để theo dõi các lời gọi hàm đang hoạt động và biến cục bộ của chúng?

  1. ABảng băm các hàm
  2. BHàng đợi bộ nhớ heap
  3. CCây tìm kiếm nhị phân các khung
  4. DNgăn xếp lời gọi (call stack)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Với mỗi phần tử của mảng, bạn muốn tìm phần tử lớn hơn kế tiếp ở bên phải nó, trong tổng thời gian O(n). Cấu trúc nào giúp được?

  1. AMột ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
  2. BMột hàng đợi chứa mọi cặp phần tử
  3. CMột bảng băm của mọi phần tử
  4. DMột cây tìm kiếm nhị phân được xây lại cho mỗi phần tử
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 18 đỉnh và 27 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 18|E| = 27
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
2114141391515ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Đệ quy sâu n lời gọi trước khi có lời gọi nào trả về, và mỗi lời gọi cần một khung ngăn xếp, nên nó dùng không gian O(n).

Đáp số

B · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đồ thị có hướng không chu trình

Vì sao đây là đáp án

Thứ tự tô-pô tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có hướng không có chu trình; nó tìm được trong O(V + E) bằng DFS hoặc thuật toán Kahn.

Đáp số

C · Đồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Ngăn xếp lời gọi (call stack)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi lời gọi đẩy một khung ngăn xếp và mỗi lần trả về lấy nó ra, đó là lý do lời gọi gần nhất kết thúc trước.

Đáp số

D · Ngăn xếp lời gọi (call stack)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời

Vì sao đây là đáp án

Quét từ trái sang phải, lấy ra mọi phần tử nhỏ hơn phần tử hiện tại trong ngăn xếp (phần tử hiện tại là câu trả lời của chúng), rồi đẩy nó vào; mỗi phần tử di chuyển tối đa hai lần.

Đáp số

A · Một ngăn xếp giữ các phần tử đang chờ câu trả lời
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

18 − 1 = 17

Các cạnh cần bỏ

k = 27 − 17 = 10

Đáp số

k = 10
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 26

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): C: 2
C (2): B: 3, E: 16
B (3): D: 17
E (16): F: 31
D (17): F: 26
F (26)

Đường đi ngắn nhất

A → C → B → D → F
d(F) = 26

Đáp số

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms