Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quy hoạch động hữu ích khi một bài toán có:

  1. AHoàn toàn không có bài toán con, nên có thể giải trong một bước
  2. BChỉ các đầu vào ngẫu nhiên
  3. CCác bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
  4. DMột vòng lặp duy nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Strassen nhân ma trận bằng 7 thay vì 8 phép nhân đệ quy các khối nửa kích thước. Thời gian chạy của nó là bao nhiêu?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(nlog₂ 7), khoảng n2,81
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(n³)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chiều cao trong trường hợp xấu nhất của cây tìm kiếm nhị phân có n nút là bao nhiêu nếu các khóa được chèn theo thứ tự đã sắp xếp?

  1. An (nó trở thành danh sách liên kết)
  2. B1
  3. Clog₂ n
  4. D√n
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Xóa một nút có hai con khỏi cây tìm kiếm nhị phân thường được thực hiện bằng cách:

  1. AXóa cả cây con
  2. BXây lại từ đầu cây con bên dưới nó và chèn lại mọi khóa mà nó chứa
  3. CThay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
  4. DHoán đổi nó với gốc
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 32 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
11561314131413111ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu

Vì sao đây là đáp án

Lưu kết quả của các bài toán con chồng lặp (ghi nhớ hoặc lập bảng) tránh công việc lặp lại, biến các thuật toán hàm mũ thành đa thức.

Đáp số

C · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Θ(nlog₂ 7), khoảng n2,81

Vì sao đây là đáp án

Với a = 7 và b = 2, nlog₂ 7 chiếm ưu thế so với công việc cộng O(n²), cho khoảng n2,81.

Đáp số

B · Θ(nlog₂ 7), khoảng n2,81
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · n (nó trở thành danh sách liên kết)

Vì sao đây là đáp án

Chèn theo thứ tự đã sắp tạo ra cây suy biến có chiều cao n, khiến tìm kiếm tốn O(n). Cây cân bằng ngăn điều này.

Đáp số

A · n (nó trở thành danh sách liên kết)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó

Vì sao đây là đáp án

Nút kế tiếp theo thứ tự giữa có tối đa một con, nên có thể xóa dễ dàng sau khi sao chép khóa của nó vào nút bị xóa.

Đáp số

C · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 22 = 2(L + 6) − 2
L = 12

Đáp số

L = 12

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 28

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 1, C: 15
B (1): C: 7, G: 14
C (7): E: 20
G (14): D: 15
D (15): F: 28
E (20)
F (28)

Đường đi ngắn nhất

A → B → G → D → F
d(F) = 28

Đáp số

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms