Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Đệ quy của sắp xếp trộn có bao nhiêu tầng đối với một mảng n phần tử?

  1. AKhoảng log₂ n
  2. BKhoảng √n
  3. CKhoảng n / 2
  4. DKhoảng n
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tìm kiếm nhị phân không cho thời gian O(log n) trên một danh sách liên kết đơn?

  1. ATìm kiếm nhị phân cần ít nhất gấp đôi bộ nhớ
  2. BDanh sách liên kết không thể được sắp xếp
  3. CĐến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
  4. DCác phép so sánh trên nút danh sách liên kết chậm hơn
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây nhị phân hoàn hảo có chiều cao h, với chiều cao tính bằng cạnh, có bao nhiêu nút?

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Xóa một nút có hai con khỏi cây tìm kiếm nhị phân thường được thực hiện bằng cách:

  1. AXây lại từ đầu cây con bên dưới nó và chèn lại mọi khóa mà nó chứa
  2. BXóa cả cây con
  3. CHoán đổi nó với gốc
  4. DThay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K5 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K5
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ E đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Khoảng log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Chia đôi từ n xuống 1 mất khoảng log₂ n tầng, và mỗi tầng thực hiện công việc trộn O(n), cho O(n log n).

Đáp số

A · Khoảng log₂ n
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp

Vì sao đây là đáp án

Tìm kiếm nhị phân cần truy cập O(1) vào phần tử giữa; trên danh sách liên kết, đi đến đó tốn thời gian tuyến tính, nên tổng là O(n).

Đáp số

C · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 2h+1 − 1

Vì sao đây là đáp án

Cộng 1 + 2 + 4 + ... + 2h cho 2h+1 − 1; ví dụ, chiều cao 2 cho 7 nút.

Đáp số

B · 2h+1 − 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó

Vì sao đây là đáp án

Nút kế tiếp theo thứ tự giữa có tối đa một con, nên có thể xóa dễ dàng sau khi sao chép khóa của nó vào nút bị xóa.

Đáp số

D · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Đáp số

H = 12
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 6

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)EC = 2·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 3·1 + 0·0 = 6

Đáp số

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms