Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Đệ quy của sắp xếp trộn có bao nhiêu tầng đối với một mảng n phần tử?

  1. AKhoảng log₂ n
  2. BKhoảng √n
  3. CKhoảng n / 2
  4. DKhoảng n
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán dừng cho thấy rằng:

  1. AMột số chương trình chạy nhanh hơn trên máy tính nhanh hơn, nên việc dừng phụ thuộc vào phần cứng
  2. BKhông thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không
  3. CMọi chương trình cuối cùng đều dừng
  4. DNên tránh các vòng lặp
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một mạng lưới đường có 100,000 giao lộ, mỗi giao lộ nối với khoảng 4 giao lộ khác. Cách biểu diễn nào phù hợp nhất?

  1. AMột mảng đỉnh đã sắp xếp đơn lẻ
  2. BMột đống nhị phân các cạnh
  3. CMa trận kề
  4. DDanh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các khóa 5, 3, 8, 1 được chèn theo thứ tự này vào đống min nhị phân dùng mảng rỗng. Mảng cuối cùng là gì?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
212111512510615ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Khoảng log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Chia đôi từ n xuống 1 mất khoảng log₂ n tầng, và mỗi tầng thực hiện công việc trộn O(n), cho O(n log n).

Đáp số

A · Khoảng log₂ n
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Không thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không

Vì sao đây là đáp án

Turing chỉ ra rằng bài toán dừng là bất khả quyết định: giả sử tồn tại một bộ quyết định sẽ dẫn đến mâu thuẫn với một chương trình làm điều ngược lại.

Đáp số

B · Không thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Danh sách kề

Vì sao đây là đáp án

Ma trận sẽ cần 1010 ô, gần như đều trống; danh sách kề chỉ lưu khoảng 400,000 mục cạnh.

Đáp số

D · Danh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · [1, 3, 8, 5]

Vì sao đây là đáp án

Sau 5, 3, 8 mảng là [3, 5, 8]; 1 vào chỉ số 3, hoán đổi với cha 5 rồi với 3, cho [1, 3, 8, 5].

Đáp số

A · [1, 3, 8, 5]
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Các đỉnh lẻ

D, F → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: C

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 2, C: 12
2. B (2): D: 13, G: 7
3. G (7): E: 22
4. C (12)
5. D (13): F: 28
6. E (22)
7. F (28)

vòng 4

C

Đáp số

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms