Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm chạy một vòng lặp n lần lặp rồi, tách biệt, một vòng lặp khác n lần lặp. Độ phức tạp thời gian của nó là gì?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán nào tìm cây khung nhỏ nhất bằng cách liên tục thêm cạnh rẻ nhất không tạo chu trình?

  1. AThuật toán Dijkstra
  2. BThuật toán Prim bắt đầu từ một nút
  3. CFloyd–Warshall
  4. DThuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong hàng đợi vòng lưu trong mảng có sức chứa n, vị trí kế tiếp sau chỉ số i được tính thế nào?

  1. A(i − 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. AChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
  2. BTruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
  3. CSắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
  4. DTìm trung vị trong O(1)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n)

Vì sao đây là đáp án

n + n = 2n, và các hệ số hằng bị bỏ, nên hàm là O(n).

Đáp số

C · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Thuật toán Kruskal

Vì sao đây là đáp án

Kruskal sắp xếp các cạnh theo trọng số và thêm chúng nếu chúng nối các thành phần khác nhau; Prim phát triển một cây từ đỉnh xuất phát.

Đáp số

D · Thuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · (i + 1) mod n

Vì sao đây là đáp án

Phép modulo quay chỉ số n − 1 về 0, nên mảng được dùng lại mà không cần dịch chuyển phần tử.

Đáp số

C · (i + 1) mod n
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

B · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Các đỉnh lẻ

A, C, D, E, F, G → 6
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Thêm một bước

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms